Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Матрицы и определители

Пусть дана таблица из 4 чисел

Это матрица . Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2).

Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, в которой стоит данное число. Например, а 12 означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; а 21 – число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа а 11, а12, а21, а22 будем называть элементами матрицы.

Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице) называется число (1)

Свойства определителей второго порядка:

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину

3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.

5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.

Последнее свойство применяется для получения в какой-либо строке (столбце) определителя строки (столбца), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю. Так как разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком).

Все эти свойства легко доказываются проверкой, например:

Пример: Вычислим определитель матрицы Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой. Решение: Разложим определитель по первой строке Пример : Найти у из системы уравнений

Действия над матрицами и линейные преобразования С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.

Пример : Доказать, что произведение матрицы А на единичную матрицу Е, равно самой матрице А.

Нахождение обратной матрицы Для квадратных матриц любого порядка А можно найти так называемую обратную матрицу А-1, удовлетворяющую условию А·А-1 = А-1·А = Е

Вектором называется направленный отрезок. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (или модулем) и обозначается или . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .
Элементы векторной алгебры