Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов

К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y=xn

2) показательная функция y=ax

3) логарифмическая функция y=logax

4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке

Это свойство функций и называется непрерывностью в точке х0.

Функции, полученные из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа композиций, называются элементарными.

При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими основными теоремами о пределах:

1. , где С-константа 2. Константа выносится из-под знака предела.

Если пределы существуют и конечны, то

3. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов.

4. и если , то

5.

Предел произведения равен произведению пределов. Предел частного равен частному пределов. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.

 

Рассмотрим конкретные примеры пределов: Найдем Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности типа . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х4. Имеем неопределенность вида {0/0} в тригонометрическом выражении. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела, но в первом замечательном пределе знаменатель дроби и аргумент синуса должны совпадать.

Рассматривая различные процессы и явления, мы встречаемся с объектами и величинами различной природы. Некоторые из физических величин - такая как масса, температура, объем, потенциал характеризуются одним числом. Они называются скалярными величинами или просто скаляром. Наряду со скалярами существуют величины, для характеристики которых необходимо указать также и направление. Такие, например, сила, скорость, перемещение, напряжение и прочие. Эти физические величины называются векторными величинами или векторами.
Элементы векторной алгебры