Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Исследование функции, построение графика Непрерывность функции, разрывы

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х0 – предельная точка множества Е.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если

1. Она определена в точке х0

2. Существует конечный предел

3. Этот предел равен значению функции в точке х0.

Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х0, а сама точка x0-точкой разрыва. Если в точке x0 оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х0-точка разрыва первого рода, т.е.

Возможны два случая

1. f(x0+0)=f(x0-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х0, либо f(x0) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х0 или переопределить ее, положив f(x0)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х0.

оба односторонних предела существуют, конечны и равны.

2. f(x0- 0) № f(x0+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.

Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x0+0) или f(x0-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.

Если в точке х0 функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

Свойство нерерывности сложной функции Если функция u=g(x) непрерывна в точке х0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u0=g(x0), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х0. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Геометрической моделью векторной величины является прямолинейный отрезок с выбранным на нем направлением. В нашем курсе мы и будем иметь дело в основном с этой моделью, а потому прямолинейный отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая концом, будем называть геометрическим вектором или просто вектором.
Элементы векторной алгебры