Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных

Исследование функции, построение графика

Частные производные

Мы видели, что понятие производной функции оказалось очень полезным для исследования функций одной переменной. Но как применить это понятие для функции двух переменных. Можно считать одну переменную постоянной и взять производную по другой – так мы получим частные производные.

Пусть функция z=f(x; y) определена в открытой области D и точка (x0; y0)О D.

Дадим значению х0 приращение D х, сохраняя значение второго аргумента неизменным и равным y0. Тогда функция f получит приращение

, которое, естественно, назвать ее частным приращением по переменной х или частным приращением в направлении оси ОХ. Интегралы Вычислить объем цилиндра примеры решений задач типового расчета по математике

Частной производной первого порядка функции f по переменной х в точке (х0; y0) называется предел отношения частного приращения D хz функции f в точке (х0; y0) к приращению D х, когда D х® 0.

Частная производственная функции z=f(х; y) в точке (х0; y0) по переменной х обозначается чаще всего следующим образом:

Итак,

Аналогично определяется частная производная (первого порядка) функции f по переменной y в точке (х0; y0):

Из определения следует, что частная производная функции z=f(х; y) по х есть обыкновенная производная функции z=f(х; y0), рассматриваемая как функция одной переменной х при постоянном значении другой переменной y. Чтобы найти f’x(x0; y0), надо взять производную от f(x; y) по х, считая y постоянным, и затем, в полученном результате, заменить х на х0, а y – на y0.

Пример. Найти f’x(3;-2), если Решение. Найдем сначала частную производную функцию по х. При дифференцировании по переменной х данная функция z является показательной (здесь основание степени y постоянно).

Пример. Найдем частные производные второго порядка от функции

Выше было указано, что вектор полностью определяется своим началом и концом. Он может быть задан также началом, длиной и направлением. Но для целого ряда вопросов точка прикладывания (начало вектора) не обязательна - имеет значение лишь длина вектора и его направление. Такие векторы называются свободными. Поскольку точка прикладывания (начало вектора) любая, тогда вектор можно переносить, сохраняя его длину и направление, в любую точку пространства. А потому векторы, которые имеют равные длины и одинаковые направления, называются равными векторами
Элементы векторной алгебры