Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных

Функции трех переменных

Наряду с существованием функций двух переменных, существует функции трех переменных u(x, y, z). Пределы и непрерывность для нее определяется аналогично функции двух переменных.

Аналогично можно подсчитать и частные производные для функции трех переменных

Обратим внимание на отличие в написании производных . Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке Р(x, y, z).

Назовем этот вектор градиентом функции u(x, y, z) и будем обозначать его символами gradu и .

Градиентом функции u(x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

Проекции градиента зависят от выбора точки Р(x, y,z) и изменяются с изменением координат этой точки. Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.

Поверхностью уровня для функции трех переменных u(x, y, z) называется поверхность, заданная уравнением u(x, y, z)=u0, где u0=u(x0, y0, z0).

Справедлива Теорема:

Градиент функции u(x, y, z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Например: Пусть - расстояние от точки до начала координат. Тогда

То есть градиент r направлен по радиус-вектору и модуль его равен единице.

В случае функции двух переменных u=u(x, y) градиент лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен к линии уровня (u(x, y)=с).

Исследование операций Область математической науки, изучающая вопросы выбора (принятия) решений по организации и управлению целенаправленными процессами (операциями) называется исследованием операций. Характерной существенной особенностью исследования операций является стремление найти наиболее эффективное (оптимальное) решение задачи принятия решений. Общая задача математического программирования может быть сформулирована следующим образом. Типичными задачами, решаемыми в исследовании операций Переход от неравенств к уравнениям в задачах математического программирования Все неравенства, описанные выше определяют некоторое множество значений величин х1, х2, хn, которые удовлетворяют этим неравенствам. Покажем как от системы неравенств перейти к равенстам вводя дополнительные переменные.

Выше было указано, что вектор полностью определяется своим началом и концом. Он может быть задан также началом, длиной и направлением. Но для целого ряда вопросов точка прикладывания (начало вектора) не обязательна - имеет значение лишь длина вектора и его направление. Такие векторы называются свободными. Поскольку точка прикладывания (начало вектора) любая, тогда вектор можно переносить, сохраняя его длину и направление, в любую точку пространства. А потому векторы, которые имеют равные длины и одинаковые направления, называются равными векторами
Элементы векторной алгебры