Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных

Исследование функции, построение графика

Разложение вектора по базису. Если  - орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор  единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами x, y, z, т.е. .

Коэффициенты x, y, z линейной комбинации называются координатами вектора   в базисе .

Пусть система векторов , , является базисом, вектор  – их линейная комбинация. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным. Значит,

.

Пример 1. Найти координаты вектора  в базисе , ,, если , , .

Решение. Используя формулу , составим систему уравнений для нахождения координат вектора  в базисе , ,.

Некоторые свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы функции на , а затем и интеграла определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

  или

Пример 2. Показать, что векторы , ,  образуют базис.

Решение. Составим определитель третьего порядка из координат данных векторов и найдем его.

,

следовательно, векторы линейно независимы, значит, они образуют базис.

3. Длина вектора  определяется по формуле:

.

  Пусть вектор  образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы α, β, γ соответственно. Направление вектора  определяется с помощью направляющих косинусов:

, , .

 Направляющие косинусы связаны соотношением .

 Пусть даны два вектора  и . Тогда:

1) векторы  и  равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты;

2) векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

.

  При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – соответственно умножаются на это число:

,

.

Разложение вектора по базису

Некоторые приложения скалярного произведения

Пример . Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения  в положение . Под каким углом к  направлена сила ?

Краткий конспект лекций по векторной алгебре предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине "Алгебра и геометрия". Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.
Элементы векторной алгебры