Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных

Исследование функции, построение графика

Элементы векторной алгебры

 Большинство физических величин являются скалярными или векторными, причем физической величиной является сам вектор, а не его компоненты, зависящие от выбора системы координат.

Скаляр – однокомпонентная величина f, значение которой не зависит от выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа, плотность, объем, давление и т.д.

Вектор – трехкомпонентная величина , компоненты (проекции) которой преобразуются при поворотах системы координат как декартовы координаты точки, например, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т.д.

Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные координатные оси x, y, z (x1, x2, x3), направленные так, что направление оси z (x3) определяется направлениями осей x, y (x1, x2) по правилу правого винта.

Единичные орты – три единичных вектора  (), направленные по соответствующим координатным осям. (В математической литературе их чаще обозначают .) Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Линейная комбинация векторов - , где a, b - вещественные числа. ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы произведений.

Дифференцирование сложной функции Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке x0 = φ(t0). Тогда сложная функция f[φ(t)] имеет производную в точке t0 u справедлива следующая формула: 

Скалярное произведение векторов  - скаляр, со следующими свойствами: 1. , 2. ,

3. .

Скалярное произведение  двух векторов  и равно

или

где   и  – длины векторов  и , - угол между векторами  и , ,  и - проекции  вектора на оси x, y и z (1, 2 и 3).

 

Векторное произведение векторов  - вектор, со следующими свойствами: 1. , 2. , . Модуль векторного произведения – это площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, равная:

 

Компоненты векторного произведения вычисляются по следующей формуле, которая легко получается из приведенных выше свойств этого произведения:

  =

Двойное векторное произведение  вычисляется по формуле «бац минус цаб»:

 

Смешанное произведение векторов:  - скаляр, модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Для любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и меняет знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей:

Если хотя бы два вектора-сомножителя коллинеарны, смешанное произведение равно 0.

СПФ вычисляется по формуле:

где V –объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и , знак “+” - в случае, когда тройка векторов правая, а знак “-” - в случае, когда тройка векторов левая.

Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору  и проходящей через точку  в векторной форме имеет вид

или в компонентах:

Уравнение прямой, параллельной вектору  и проходящей через точку  имеет вид:

,

где a - любое вещественное число. Учитывая, что величина a одна и та же для всех координатных осей, получаем, что уравнение прямой, записанное в компонентах, имеет вид:

Задачи

Выразить косинус угла между векторами  и  через направляющие косинусы этих векторов (направляющие косинусы- косинусы углов между вектором и осями координат).

1.2 Дан тетраэдр ABCD, где, например, A(0,1,1), B(1,2,3), C(3,1,0), D(2,1,3). Найти:

1.2.1 Координаты вектора ;

1.2.2 Длину стороны AB;

1.2.3 угол между векторами  и ;

1.2.4 Площадь грани ABC;

1.2.5 Вектор нормали к грани ABC;

1.2.6 Угол между гранями ABC и ABD;

1.2.7 Объем тетраэдра ABCD;

1.2.8 Уравнение плоскости, параллельной плоскости ABC и проходящей через точку D;

1.2.9 Уравнение прямой, параллельной прямой AB и проходящей через точку C;

1.2.10 Расстояние от точки D до плоскости ABC;

1.2.11 Расстояние от точки C до прямой AB;

1.2.12 Координату точки O, где O- проекция точки D на плоскость ABC;

1.2.13 Координату точки P, где P- проекция точки C на прямую AB;

1.3 Найти проекции скорости и ускорения точки, а также угол между скоростью и ускорением в заданный момент времени, если координаты x и y заданы, условиями:

1.3.1 x = sin(t2), y = cos(t2), t = 1;

1.3.2 x = sin(t)-cos(2t), y = cos(t2), t = 1;

1.3.3 x = sin2(t), y = cos(t),  t = 2.

1.4 Найти координаты центра масс системы трех частиц с массами m1, m2 и m3, расположенных в точках A1, A2 и A3:

1.4.1 m1 = 2, m2 = 4, m3 = 3, A1 (0,0,2), A2 (1,1,0), A3 (0,1,1);

1.4.2 m1 = 1, m2 = 2, m3 = 2, A1 (1,0,1), A2 (0,2,3), A3 (1,1,1);

1.4.3 m1 = 3, m2 = 4, m3 = 1, A1 (2,0,0), A2 (1,2,1), A3 (-1,1,1);

1.4.4 m1 = 3, m2 = 1, m3 = 2, A1 (-1,0,1), A2 (2,3,0), A3 (1,0,2).

1.5 Упростить выражения:

1.5.1 ;

1.5.2 ;

1.5.3 ;

1.5.4 .

Доказать справедливость тождества:

1.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору , и уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору :

1.7.1 A(1,2,-3, ), (5,7,-6);

1.7.2 A(-2,0,1, ), (-1,2,4);

1.7.3 A(1,2,-1, ), (0,1,-1).

1.8 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

.

Градиент скалярного поля

Дивергенция векторного поля и теорема ОСТРОГРАДСКОГО- ГАУССА Вектор площадки  направлен перпендикулярно площадке и равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали , если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки правилом правого винта.

Ротор векторного поля и теорема Стокса

Комбинированные задачи веторного анализа

Краткий конспект лекций по векторной алгебре предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине "Алгебра и геометрия". Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.
Элементы векторной алгебры