Математический анализ Пределы

 

Вторая глава имеет чрезвычайно важный для всего дальнейшего смысл. Здесь мы вводим и подробно разбираем понятие предела. На этом понятии основан весь современный анализ. Поэтому понятие предела нужно понять и прочувствовать, решая примеры, так чтобы в дальнейшем ссылки на свойства пределов и на вычисление конкретных пределов не вызывали необходимости всё вновь и вновь начинать читать учебник с начала.

Понятие предела мы разбираем не только в частных случаях пределов числовых функций числового аргумента, но и в общем случае, давая определение предела произвольной функции по произвольной базе. Это понятие, понадобится, в частности, при изучении во втором семестре определённых интегралов.

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример Пусть и рассматривается функция . Покажем, что

Пример Покажем, что предел последовательности равен 0.

Общее определение предела

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

• Пример
• Пример

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

• Пример
• Пример
• Пример

Общие свойства пределов

• Замечание
• примеры
• примеры
• Упражнение
• Следствие

Первый и второй замечательные пределы

• Пример
• Теорема
• Упражнение

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

• Определения
• Примеры

Сравнение бесконечно малых

• Пример
• Пример
• Примеры

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пример

Упражнения на вычисление пределов