Математический анализ Непрерывность функций и точки разрыва

 


Третья глава посвящена изучению понятия непрерывности и точек разрыва числовых функций. Здесь изучаются свойства непрерывных функций, в том числе связанные с достаточно сложным понятием равномерной непрерывности. Многие утверждения этой главы являются базовыми для различных приложений, например, связанных с поиском корней уравнений и экстремумов функций.

Если у Вас большие трудности со временем и Вы наглядно представляете себе, что такое непрерывная функция, то поначалу вы можете бегло ознакомиться с этой главой, возвращаясь к ней по мере надобности в дальнейшем, по мере появления ссылок на утверждения этой главы.

Определение непрерывности функции

Примеры, упражнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$,

Пример   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Свойства функций, непрерывных в точке

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции

Гиперболические функции и ареа-функции

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения