Математический анализ Производные и дифференциалы

 


Четвёртая глава повествует о, быть может, самом главном понятии, на котором держится вся современная математика -- понятии производной (во всяком случае, наряду с определённым интегралом, об одном из двух самых главных понятий). Эту главу непременно нужно подробнейшим образом изучить и научиться находить производные так, чтобы эта процедура не вызывала в дальнейшем затруднений. Поверьте, содержательных трудностей в дальнейшем будет достаточно, так что процедура нахождения производной, которая часто будет вспомогательной при решении сложных задач, должна рассматриваться как дело техники вычислений и не вызывать замешательства. Итак, четвёртая глава -- самая главная глава во всей той части учебника, что посвящена математическому анализу! Пропускать её или относиться к ней без пристального внимания никак нельзя.

Мгновенная скорость при прямолинейном движении Формула Тейлора 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

Касательная к кривой на плоскости

Определение

Производная

Свойства производных

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$

Примеры

Дифференциал

Производная композиции

Примеры

Примеры

Инвариантность дифференциала

Производная обратной функции

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Пример

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Пример

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Производные функции, заданной параметрически

Производная функции, заданной неявно

Приближённое вычисление производных

Примеры и упражнения

Примеры и упражнения 2