Математический анализ Формула Тейлора
Магнитные цепи | Законы Кирхгофа | Удобный выбор оборудования: оборудование столовой. Выставка "Horeca Expo 2009". Расчёт электрических цепей | Расчёт трёхфазных цепей | Математика | Пределы | Векторная алгебра | Матрицы | Геометрия | Интегрирование | Задачи | Квантовая физика Резонанс Реакции Электротехника лекции | На главную Способы оплаты в интернет казино.|Среди любителей дайвинга отдых на Мальдивах считается лучшим способом погрузиться в восхитительное подводное царство. Дайверы говорят, что подводный мир Мальдив - самое живописное место на Земле, которое можно, пожалуй, сравнить лишь с Красным морем. Коралловые рифы сказочной красоты, огромное количество экзотических рыб и, конечно, дайвинг-центры, предоставляющие все возможности для обучения и подводных экскурсий - одна из причин, по которым туры на Мальдивы стараются приобрести многие любители дайвинга. Специальные дайв-туры дают возможность побывать на старинном затонувшем корабле, подробно изучить мир коралловых рифов, увидеть, как скользит по течению рифовая акула и как светятся в ночное время экзотические рыбки, живущие в коралловых гротах. Гигантская морская черепаха, величаво плывущая в толще морской воды, яркие рыбки, которые мечутся суетливыми стайками, задумчиво парящий скат - туры на Мальдивы предоставляют возможность заглянуть в другую вселенную, которая расположена на той же Земле, что и наша, но бесконечно далека от нее. На Мальдивских островах подводным плаванием с аквалангом может заняться даже новичок. Все отели предлагают профессиональное обучение дайвингу с последующим получением сертификата международного образца. Опытным дайверам отели предоставляют богатейший выбор подводных туров, надежное снаряжение и сопровождение специалистов. Подводные экскурсии, организованные персоналом мальдивских отелей, не оставят равнодушным ни новичка, только пробующего свои силы, ни опытного подводного пловца, который многое успел повидать. Для тех, кто не смог или не захотел плавать с аквалангом, отдых на Мальдивах - шанс заняться снорклингом - так называется плавание с ластами, маской и трубкой. Снаряжение для снорклинга предоставляет любой отель. Еще одно развлечение, в котором могут принять участие только те, кто приобрел туры на Мальдивы, - дрифтинг. Это подводное плавание по течению. Мальдивские острова сегодня являются единственным в мире местом, которое предлагает туристам попробовать этот модный вид отдыха. После экскурсий по подводному миру коралловых островов дайверы смогут насладиться удивительным покоем, безукоризненным сервисом и разнообразной кухней. Все это поможет надолго сохранить только приятные впечатления о дайвинге на Мальдивских островах.

Fistoe.ru

Математика
Функции и их графики

Пределы

Непрерывность функций
Производные и дифференциалы
Формула Тейлора
Исследование функций
Экстремум функции
Приближённое нахождение корней уравнений
Векторная алгебра
Прямые линии и плоскости
Кривые и поверхности
Матрицы
Комплексные числа
Свойства диф. функций
Дискретная математика
Геометрия
Методы интегрирования
Вычисление интеграла
Неопределенный интеграл
Дифференциальное исчисление
Аналитическая геометрия
Математический анализ
Системы линейных уравнений
Физика
Свойства атомных ядер
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Взаимодействие нейтронов
Деление и синтез ядер
Реакции с ядрами и частицами
Законы радиоактивного распада
Квантовая механика
Спин, момент импульса
Атом водорода
Электротехника
Расчёт электрического поля
Расчёт магнитной цепи
Законы Кирхгофа
Расчёт электрических цепей
Расчёт трёхфазных цепей
Синусоидальный ток
Электротехника лекции

 

Данная глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Формула Тейлора

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг $ h$ малым.

Пусть функция $ f(x)$ разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке $ x_0$. Положим $ x=x_0+h$, тогда

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h^2.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+{\varepsilon}(x_0;h),$

где

$\displaystyle {\varepsilon}(x_0;h)=\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h$ --

погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене $ f'(x_0)$ на разностную производную $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Следовательно,

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{m_2}{2}h,$

где

$\displaystyle m_2=\max_{x\in[x_0;x_0+h]}\vert f''(x)\vert.$

Как правило, заранее известна более грубая оценка для $ f''$ на некотором отрезке $ [a;b]$, включающем в себя $ [x_0;x_0+h]$:

$\displaystyle M_2=\max_{x\in[a;b]}\vert f''(x)\vert\geqslant m_2,$

и $ M_2$ не зависит от $ x_0$ и $ h$. Тогда

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}h;$

из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге $ h$.

Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида

$\displaystyle \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$

Ошибку $ {\varepsilon}(x_0;h)$ при замене $ f'(x_0)$ на это отношение можно оценить исходя из разложения $ f(x)$ в точке $ x_0$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка 3:

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}}\in(x_0;x_0+h)$. Подставляя сюда $ -h$ вместо $ h$, получаем:

$\displaystyle f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3,$

 

 

Упражнения

Первообразная функция Методы интегрирования Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков Вычисление определенного интеграла, объемов тел Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дискретная математика Элементы высшей алгебры Математический анализ, примеры решения задач Строение и общие свойства атомных ядер Ядерные реакции Деление ядер Законы радиоактивного распада Взаимодействие нейтронов с ядрами Реакции с ядрами и частицамиКвантовая механика, Волновая функция Расчёт электрического поля Расчёт магнитной цепи Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Электротехника лекции конспекты курсовые задачи