Математический анализ Приближённое нахождение корней уравнений

 

Данная глава посвящена приближённым методам математического анализа, связанным с функциями одного переменного. Заметим, что эти методы будут служить базой для многомерных приближённых методов в следующих семестрах.

Здесь изучаются две основные темы: методы приближённого поиска корней уравнений, то есть таких значений аргумента , что для заданной функции получается значение ; вторая тема -- приближённое нахождение точек экстремума (максимума или минимума) данной функции и самих экстремальных значений и .

Данная глава опирается на теоретические результаты предыдущих глав, так что по мере её изучения вам, возможно, придётся обращаться к теоремам тех глав, которые Вы пропустили или лишь бегло изучили при первом чтении.

С практической точки зрения в приложениях, эта глава может оказаться наиболее ценной для применения математических методов при изучении других дисциплин, особенно технического и экономического характера, так что эту главу изучить надо непременно, хотя для понимания дальнейших математических разделов (теоретического, а не вычислительного характера) результаты этой главы не обязательны.

Кривизна плоской кривой

Кривизна графика функции

Вершины кривых

Примеры

Радиус кривизны

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

Отделение корней

Пример

Метод простого перебора

Метод половинного деления

Пример

Метод простых итераций

Теория

Теорема   Если функция имеет производную в некоторой окрестности корня уравнения , причём при , то последовательность итераций , полученных при , начиная с , сходится к корню .

Метод секущих

Метод одной касательной

Метод Ньютона (метод касательных)

Пример   Решим методом Ньютона всё то же уравнение ,

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Пример  Решим уравнение методом хорд.

Приближённое нахождение точки экстремума

Метод простого перебора

Метод почти половинного деления

Метод золотого сечения и метод Фибоначчи

Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Пример Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции .

Упражнения

    УпражнениеПриближённо, с точностью , найдите точку минимума функции на отрезке и вычислите минимальное значение :

а) , ;

б) , ;

в) , .