Математический анализ Векторная алгебра

 

Определение вектора

Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики. Производная функции, ее геометрический и физический смысл Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

        Определение 10.1   Вектором называется направленный отрезок.         Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Графики функции Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

Таким образом, вектор -- это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: $ {\bf a},\quad \overline{a},
\quad \vec{a},\quad \overline{AB},\quad
\overrightarrow {AB}$ . В двух последних случаях $ A$  -- обозначение точки, являющейся началом вектора, $ B$  -- концом вектора. В тексте этого учебника будут использоватся первое и последнее из перечисленных обозначений.

Тройные и n-кратные интегралы

Операции над векторами

Теорема Для любых векторов $ {\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел $ {\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства: $ {\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора

Линейная зависимость векторов

Предложение Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима

Система координат и координаты вектора

Проекции вектора

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Скалярное произведение

Теорема   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1,
{\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Векторное произведение

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе