Матрицы, Комплексные числа примеры задачи Высшая математика в примерах

Умножение матриц

Замечание 14.3 Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

У читателя может возникнуть законный вопрос: "Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?" Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно "похоже" на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках.

Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц.

Прежде всего отметим, что умножение матриц -- некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы $ A$ и $ B$ , что

$\displaystyle AB\ne BA.$

Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение $ AB$ существует, а произведение $ BA$ -- нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть $ A=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)$ , $ B
=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ . Тогда

$\displaystyle AB=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin...
...0&1\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right),$
$\displaystyle BA=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin...
...1&0\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&0\\ 0&0\end{array}\right),$

то есть $ AB\ne BA$ .

Предложение 14.4 Умножение матриц обладает следующими свойствами: $ (AB)C=A(BC)$ -- ассоциативность умножения; $ {\lambda}(AB)=({\lambda}A)B=A({\lambda}B)$ , где $ {\lambda}$ -- число; $ A(B+C)=AB+AC$ , $ (A+B)C=AC+BC$ -- дистрибутивность умножения; $ EA=A$ , $ AE=A$ , где $ E$ -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Доказательство. На протяжении всего доказательства предполагается, что $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ .

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение $ AB$ было определено, матрица $ B$ должна иметь размеры $ n\times k$ . Произведение $ AB$ обозначим буквой $ D$ . Тогда матрица $ D$ имеет размеры $ m\times k$ . Чтобы произведение $ (AB)C=DC$ было определено, матрица $ C$ должна иметь размеры $ k\times r$ . Матрицу $ (AB)C$ обозначим $ F$ , матрицу $ BC$ обозначим $ G$ , матрицу $ A(BC)$ обозначим $ H$ . Покажем, что элементы, стоящие в $ i$ -ой строке и $ j$ -ом столбце матриц $ F$ и $ H$ , равны друг другу, то есть что $ {f_{ij}=
h_{ij}}$ .

По определению

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^kd_{is}c_{sj},\quad d_{is}=\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}.$

Подставив $ d_{is}$ из второго равенства в первое, получим
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}\right)c_{sj}.$

В силу предложения 14.1
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

В силу предложения 14.3

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{p=1}^n\left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$(14.6)

С другой стороны
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}g_{pj},\quad g_{pj}=\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj},$

откуда

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}\left(\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj}\right).$

Применим предложение 14.1
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n \left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

Сравнивая этот результат с(14.6), заключаем, что $ {f_{ij}=
h_{ij}}$ . Ассоциативность умножения доказана.

Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно.

Рассмотрим отношение . Нетрудно видеть, что при x=xk , k¹ i, оно обращается в нуль, так как xk - один из “нулей” функции , а знаменатель в нуль не обращается. При x=xi числитель и знаменатель совпадают и отношение становится равным единице. Итак,

  .

Отсюда непосредственно следует, что

В качестве примера построим степенной полином, проходящий через четыре точки   Имеем

Для определения проинтерполированного значения  нет необходимости вычислять коэффициенты  Достаточно подставить x=x в формулу Лагранжа и определить числа, на которые нужно умножить

Погрешности результатов численного решения задач.

 Вычисления всегда выполняются с округлёнными числами и по формулам, приближённо заменяющим исходную задачу, поэтому и ответ будет приближённым числом. Задача заключается в том, чтобы следовать правилам, обеспечивающим минимальную погрешность результата.

  Принцип минимальности разности между числом  и его округлённым значением  приводит к следующему правилу округления:

 если старший отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется;

 если старший отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая ему цифра в числе увеличивается на 1;

 если старший отбрасываемый разряд равен 5, то предшествующая ему чётная цифра в числе не меняется, а нечётная увеличивается на 1.