Купить курсовую работу на заказ цена
Заказать  курсовую Заказать курсовую, контрольную, диплом

Спрей AirFit от ОРВИ и гриппа

Спрей AirFit от ОРВИ и гриппа

Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Студенческий файлообменник Студенческий файлообменник

Закажите реферат

Закажите реферат

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.
Магнитные цепи | Законы Кирхгофа | Расчёт электрических цепей | Расчёт трёхфазных цепей | Математика | Пределы | Векторная алгебра | Матрицы | Геометрия | Интегрирование | Задачи | Квантовая физика Резонанс Реакции Электротехника лекции | На главную

Матрицы, Комплексные числа примеры задачи Высшая математика в примерах

Умножение матриц

Замечание 14.3 Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

У читателя может возникнуть законный вопрос: "Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?" Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно "похоже" на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках.

Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц.

Прежде всего отметим, что умножение матриц -- некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы $ A$ и $ B$ , что

$\displaystyle AB\ne BA.$

Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение $ AB$ существует, а произведение $ BA$ -- нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть $ A=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)$ , $ B
=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ . Тогда

$\displaystyle AB=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin...
...0&1\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right),$
$\displaystyle BA=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin...
...1&0\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&0\\ 0&0\end{array}\right),$

то есть $ AB\ne BA$ .

Предложение 14.4 Умножение матриц обладает следующими свойствами: $ (AB)C=A(BC)$ -- ассоциативность умножения; $ {\lambda}(AB)=({\lambda}A)B=A({\lambda}B)$ , где $ {\lambda}$ -- число; $ A(B+C)=AB+AC$ , $ (A+B)C=AC+BC$ -- дистрибутивность умножения; $ EA=A$ , $ AE=A$ , где $ E$ -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Доказательство. На протяжении всего доказательства предполагается, что $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ .

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение $ AB$ было определено, матрица $ B$ должна иметь размеры $ n\times k$ . Произведение $ AB$ обозначим буквой $ D$ . Тогда матрица $ D$ имеет размеры $ m\times k$ . Чтобы произведение $ (AB)C=DC$ было определено, матрица $ C$ должна иметь размеры $ k\times r$ . Матрицу $ (AB)C$ обозначим $ F$ , матрицу $ BC$ обозначим $ G$ , матрицу $ A(BC)$ обозначим $ H$ . Покажем, что элементы, стоящие в $ i$ -ой строке и $ j$ -ом столбце матриц $ F$ и $ H$ , равны друг другу, то есть что $ {f_{ij}=
h_{ij}}$ .

По определению

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^kd_{is}c_{sj},\quad d_{is}=\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}.$

Подставив $ d_{is}$ из второго равенства в первое, получим
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}\right)c_{sj}.$

В силу предложения 14.1
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

В силу предложения 14.3

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{p=1}^n\left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$(14.6)

С другой стороны
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}g_{pj},\quad g_{pj}=\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj},$

откуда

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}\left(\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj}\right).$

Применим предложение 14.1
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n \left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

Сравнивая этот результат с(14.6), заключаем, что $ {f_{ij}=
h_{ij}}$ . Ассоциативность умножения доказана.

Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно.

Рассмотрим отношение . Нетрудно видеть, что при x=xk , k¹ i, оно обращается в нуль, так как xk - один из “нулей” функции , а знаменатель в нуль не обращается. При x=xi числитель и знаменатель совпадают и отношение становится равным единице. Итак,

  .

Отсюда непосредственно следует, что

В качестве примера построим степенной полином, проходящий через четыре точки   Имеем

Для определения проинтерполированного значения  нет необходимости вычислять коэффициенты  Достаточно подставить x=x в формулу Лагранжа и определить числа, на которые нужно умножить

Погрешности результатов численного решения задач.

 Вычисления всегда выполняются с округлёнными числами и по формулам, приближённо заменяющим исходную задачу, поэтому и ответ будет приближённым числом. Задача заключается в том, чтобы следовать правилам, обеспечивающим минимальную погрешность результата.

  Принцип минимальности разности между числом  и его округлённым значением  приводит к следующему правилу округления:

 если старший отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется;

 если старший отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая ему цифра в числе увеличивается на 1;

 если старший отбрасываемый разряд равен 5, то предшествующая ему чётная цифра в числе не меняется, а нечётная увеличивается на 1.