Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
. Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Кривые второго порядка.
Системы координат
Аналитическая геометрия в пространстве
Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:
F(x, y, z) = 0.
Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.
Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.
Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.
Тогда пару уравнений
назовем уравнением линии в пространстве.
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Линейное (векторное) пространство
Матрицы линейных преобразований
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А =
.
Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27
.
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
Линейная алгебра.
Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку.
Решение произвольных систем линейных уравнений
Элементы векторной алгебры
Линейные операции над векторами в координатах
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Уравнение поверхности в пространстве
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
| Первообразная функция Методы интегрирования Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков Вычисление определенного интеграла, объемов тел Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дискретная математика Элементы высшей алгебры Математический анализ, примеры решения задач Строение и общие свойства атомных ядер Ядерные реакции Деление ядер Законы радиоактивного распада Взаимодействие нейтронов с ядрами Реакции с ядрами и частицамиКвантовая механика, Волновая функция Расчёт электрического поля Расчёт магнитной цепи Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Электротехника лекции конспекты курсовые задачи | |