Курс лекций по разделу Аналитическая геометрия

Уравнение линии на плоскости

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Нормальное уравнение прямой

Угол между прямыми на плоскости

 Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.  

примеры

Кривые второго порядка.

Гипербола

Пример

Парабола

Системы координат

Полярная система координат

Уравнение кривой в полярной системе координат

Цилиндрическая и сферическая системы координат

Аналитическая геометрия в пространстве

 Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

 

F(x, y, z) = 0.

 Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

 Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

  Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

  Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

 Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Угол между плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

Линейное (векторное) пространство

Свойства линейных пространств

Примеры

Матрицы линейных преобразований

Примеры

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Рассмотрим частный случай.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Пример

Квадратичные формы

Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27.

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

Линейная алгебра.

Основные определения

Операция умножения матриц

примеры

Определители ( детерминанты)

примеры

Элементарные преобразования

Cвойства обратных матриц

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Метод Крамера

Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку.

примеры

Решение произвольных систем линейных уравнений

Элементарные преобразования систем

Метод Гаусса

Элементы векторной алгебры

Определение

Линейная зависимость векторов

примеры

Линейные операции над векторами в координатах

примеры

Векторное произведение векторов

примеры

Смешанное произведение векторов

Уравнение поверхности в пространстве

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

примеры