Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Односторонние производные функции в точке

Производная сложной функции Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.Тогда 

Логарифмическое дифференцирование  Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Свойства дифференциала

  Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1)      d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2)      d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3)      d(Cu) = Cdu

4)       

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.
Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.
Теоремы о среднем
Раскрытие неопределенностей
Пример: Найти предел .
Производные и дифференциалы высших порядков
Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций
  Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.
  2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Точки экстремума Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.