Интегралы, дифференцирование, производная - решение задач, примеры

 

  Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

 

  Тогда 

 

 Доказательство. 

 

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

 

  Тогда

 

Условие параллельности векторов.

Строго говоря, это условие не имеет отношения к скалярному произведению векторов, а определяется другими соображениями. Однако, учитывая его важность, сформулируем указанное условие. Как уже отмечалось, коллине­арные векторы пропорциональны:

.

В координатной форме это равенство выглядит так:

.

Отсюда следует условие параллельности векторов:

.

Пример. Заданы координаты вершин треугольника АВС: А(-1,-2,4), В(‑4,‑2,0) и С(3,-2,1). Определить длину стороны АВ, угол между сторонами АВ и АС, проекцию АВ на АС.

  Определим координаты вектора :

 или .

 Модуль этого вектора и равен длине стороны АВ треугольника:

.

 Определим аналогично координаты вектора , совпадающего со стороной АС треугольника и его длину:

.

 Угол между сторонами АВ и АС треугольника находим с помощью скалярного произведения векторов  и :

.

 Очевидно, что в этом случае проекция стороны АВ на сторону АС равна нулю. Этот же результат получим, воспользовавшись соотношением (2.7):

.

Пример Вычислить J = ò cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ò cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J = ò cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что  = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .