Интегралы, дифференцирование, производная - решение задач, примеры

 

  При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

  Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

  Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

  Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

  Определение: Окрестностью точки М00, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

  Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М00, у0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

  Определение: Пусть точка М00, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М00, у0), если

   (1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М00, у0) произвольным образом.

  Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М00, у0).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

  ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)

а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)

тогда f(x0, y0, …) = Mнаибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = mнаименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

 Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

  Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка

N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = m.

  Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

  Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство

  Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

 

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке.

В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с1, с2,..., cn придают конкретные числовые значения.

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n-го порядка - от n произвольных постоянных.

Пример. Найти общее решение уравнения y¢ = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = ò 3x dx, y = 3x2/2 + C,

где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

 y = 3x2/2 (С= 0),

 y = 3x2/2 + 5 (С = 5)

и т.д.