Интегралы, дифференцирование, производная - решение задач, примеры

 

  Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

 

  Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

 

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

 

Значения этих величин в точке А :

 

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = cosb = -

 

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 В общем случае дифференциал функции dx есть функция от x и от нее может быть определен дифференциал.

Определение 1: Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала функции первого порядка.

 Обозначение: d2у; d(dу).

  По определению

d2у=(dу) ′dх=( f′(x)dх)′dх= f′′(x)dх2

Определение 2: Дифференциалом третьего порядка функции у=f(x) называется дифференциал от дифференциала второго порядка

 Определение 3: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(x) называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка

dny=f(n)(x)dxn

Пример:

Найти dny от функции y=3-x.

dy=y′dx=-3-xln3dx

d2y=y′′dx2-3-xln23dx2

d3y=y′′′dx3=-3-xln33dx3

dny=y(n)dxn=(-1)n∙3-xlnn3dxn

Пример Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo обозначает начальную денежную сумму, а Yx - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Yx+1 = (1+r)Yx,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Yx+1/2 = (1 + r/2)Yx,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Yx+1/n = (1 + r/n)Yx,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:

.

Неограниченно увеличивая n (при n®¥, h®0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Yx - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Yx = e r x+C, или Yx = P e r x, где через P обозначено eC.

Учитывая начальное условие Y(0) = Yo, найдем P: Yo = Peo, следовательно, Yo = P. Решение имеет вид:

Yx =Yo e r x.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.