Интегралы, дифференцирование, производная - решение задач, примеры

 

  При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

  Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

 

 

  Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

 

 

Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

 

  Пример. Вычислить интеграл

 

 

Замена переменных в тройном интеграле.

  Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

  Можно записать:

 

 

  Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Первый замечательный предел.

Первый замечательный предел определяет значение функции  при .

Функция y =  четная, график ее имеет вид

Очевидно, что в рассматриваемом пределе имеет место неопределенность типа .

Если х есть радианная мера угла, то =1 и =1.

Пример. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Yo e k t. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qYo e k t. Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Yo e k t +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,

D = Do+(q/ k)Yo (e k t -1),

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является уравнение

y(n) = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.