Интегралы, дифференцирование, производная - решение задач, примеры

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

 

 Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

  Построим графики заданных функций:

 

  Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от  до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ.

Разностью векторов a и b называется вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a.

  c = a – b; c + b = a

Операция вычитания противоположна операции сложения. Поэтому обычно эта операция заменяется операцией сложения с противоположным  вектором:

 a – b = a +(– b)

Тогда в соответствии с правилами треугольника и параллелограмма будем иметь:

  c = a – b c = a – b

Вектор c от вычитаемого b к уменьшаемому a.

3. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (СКАЛЯР).

Произведением вектора a на скаляр m называется вектор b, коллинеарный вектору a, модуль которого равен произведению модулей ׀a׀ вектора и числа m:

  (m>1) (0<m<1) (m<1) (-1<m<0)+

Операция умножения вектора a на скаляр m обладает свойствами:

m(na) = (mn)a – ассоциативности (сочетательности)

(m+n)a = ma + na или m(a+b) = ma + nb – дистрибутивности (распределительности).

Пример. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Yo e k t. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qYo e k t. Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Yo e k t +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,

D = Do+(q/ k)Yo (e k t -1),

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является уравнение

y(n) = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.