Интегралы, дифференцирование, производная - решение задач, примеры

 

 

Вычисление объемов тел.

  Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

 

  V =

  Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

  Пределы интегрирования: по оси ОХ:

  по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ.

В этом случае задача формулируется следующим образом :вывести уравнение прямой L , отсекающей на осях абсцисс и ординат отрезки a и b соответственно.

Для вывода этого уравнения прямой преобразуем ее общее уравнение:

Ax + By + C = 0

Ax + By = - C

Обозначив  и , получим искомое уравнение:

  (1)

Действительно, если y = 0,то из (1) получим, что x = a. Аналогично, при x= 0 y = b.

Пример:  Какие отрезки отсекает прямая 2x – y – 4 = 0 на координатных осях.

Решение:

Получим уравнение этой прямой в отрезках:

y 2x-y=4

 

 0 2 

 x

 -4 a = 2; b = - 4.

Пример. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Yo e k t. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qYo e k t. Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Yo e k t +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,

D = Do+(q/ k)Yo (e k t -1),

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является уравнение

y(n) = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.