Примеры вычисления интегралов

Определение первообразной и её свойства

Пример Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$

Пример

Замечания

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

Таблица интегралов

Поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , получаем $\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C.$

Табличная формула $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ означает, что $ F(x)=\arcsin x$ -- первообразная для $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ .

Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert+C,$

Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr\vert+C.$

Свойства неопределённого интеграла

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $\displaystyle \int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Формула замены переменного

Вычислим интеграл $ \int e^{x^2}x\,dx$ .

Линейная замена

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.

Найдём интеграл $ \int\ln x\,dx$ .

О "неберущихся" интегралах

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Ещё один неберущийся интеграл : $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

Пример Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

Приближённое нахождение первообразных

Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Расмотрим интеграл вида

Найдём интеграл

Вычислим интеграл

Рассмотрим случай вычисления интеграла

Пример Найдём интеграл $\dis

Пример Вычислим интеграл

Формула понижения степени

Вычислим интеграл

Рациональные функции и их интегрирование

Пример Разделим с остатком -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$ -- многочлен первой степени:

Разложим на множители многочлен третьей степени .

Разложим рациональную дробь

Замечание

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Определение

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Пример Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ \sin x$ и $ \cos x$ .

Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и

Пример Вычислим интеграл

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Примеры решения задач

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Приблеженное

Теорема

Определение

Теорема

Свойства определённого интеграла Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

Теорема

Линейность интеграла

Докажем теперь, что если $ f(x)$ и $ g(x)$ -- интегрируемые на $ [a;b]$ функции, то функция $ f(x)+g(x)$ тоже интегрируема и имеет место формула

Теорема Из интегрируемости функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$ .

Следствие

Теорема

Теорема Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ также интегрируема на $ [a;b]$ ,

Интеграл с переменным верхним пределом

Теорема Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

Пример Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Формула замены переменного в определённом интеграле

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

При $ x>0$ вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Несобственные интегралы первого рода

Вычислим значение интеграла

Пример Рассмотрим теперь несобственный интеграл

Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где > .

Определение

Свойства несобственных интегралов первого рода

Теоpема сpавнения Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство

Замечание

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона сходится.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Пример Исследуем сходимость несобственного интеграла

Теорема Если интеграл сходится, то сходится также интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл

Несобственные интегралы второго рода

Найдём площадь фигуры, расположенной под графиком функции --> над промежутком .

Пример Рассмотрим интеграл

Свойства несобственных интегралов второго рода

Несобственные интегралы с несколькими особенностями

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$

Приближённое вычисление определённых интегралов

Рассмотрим задачуо приближённом нахождении значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Квадратурная формула трапеций

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Теорема

Следствие

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

В главе об определённом интеграле мы уже видели, что для неотрицательной функции величина определённого интеграла задаёт площадь криволинейной трапеции , лежащей между отрезком оси и графиком . Рассмотрим другие геометрические приложения определённого интеграла.

Площадь области, лежащей между двумя графиками
Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками и .

Пример Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками и .

Площадь в полярных координатах
Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали ( ) при и отрезком оси $ Ox$
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью и лежащего выше горизонтальной плоскости

Пусть в плоскости рассматривается линия на отрезке .

Вычисление длины плоской линии

Найдём длину $ l$ отрезка параболы , лежащего между точками и .

Найдём длину дуги кривой ( циклоиды ), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

Площадь поверхности вращения

Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси .

Пример Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Пример Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Открытые и замкнутые области

Пример Следующие подмножества пространства $ \mathbb{R}^n$ являются открытыми областями:

Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ , очевидно, не имеет ни одной граничной точки, так что $ \partial\mathbb{R}^n=\varnothing $ .

Пример Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Связные множества

Пример Пусть $ {\Omega}$ -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

График функции нескольких переменных

Пределы функций нескольких переменных

Пример Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки $ x^0$ .

Пример

Непрерывность функции

Теорема

Ограничения функции на данное множество

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$

Свойства функций, непрерывных в области

Теорема (о промежуточном значении) Пусть функция $ f$ непрерывна в связной области $ {\Omega}$ .

Частные производные

Вычислим частные производные функции двух переменных

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$

Частные производные высших порядков

Найдём частные производные второго порядка

Дифференцируемость функции и дифференциал

Определение

Связь дифференциала с частными производными

Пример Найдём дифференциал функции трёх переменных

Теорема Пусть функция $ f(x)$ имеет в некоторой окрестности точки $ x^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$

Замечание

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Инвариантность дифференциала

Равенство смешанных частных производных

Следствие Пусть даны две частные производные

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Пример Равенство $\displaystyle g(x;y)=x^2-y^2=0$

Производные неявно заданной функции

Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Выпуклые множества и функции

Определение Функция $ g(t)$ , заданная на отрезке $ [a;b]$ , называется выпуклой (или выпуклой книзу ) на этом отрезке, если для всех $ t_0,t_1\in[a;b]$ и $ {\theta}\in[0;1]$ выполняется неравенство $\displaystyle g((1-{\theta})t_0+{\theta}t_1)\leqslant (1-{\theta})g(t_0)+{\theta}g(t_1),$

Определение Пусть дана квадратная матрица $ A$ размера $ n\times n$

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Теорема Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , то функция $ g(x)=f^2(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Теорема Любая точка локального минимума функции $ f(x)$ , выпуклой в области $ {\Omega}$ , даёт наименьшее значение функции $ f$ во всей области $ {\Omega}$ ;

Касательная плоскость к графику функции

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

Пример Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$ уравнением

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Пример Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

Найдём частные производные функции по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Градиент и производная по направлению

Формула Тейлора для функции нескольких переменных