Примеры вычисления интегралов

Купить курсовую работу на заказ цена
Заказать  курсовую Заказать курсовую, контрольную, диплом

Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Студенческий файлообменник Студенческий файлообменник

Закажите реферат

Закажите реферат

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Машиностроительное черчение
Черчение в строительной практике
Оформление чертежа
Эффективность виброзащиты
Построить проекции поверхности
вращения общего вида
Построить проекции прямого геликоида
Построить чертеж кондуктора
Построить чертеж крышки
Построить чертеж траверсы
Построить чертеж подвески
Общие сведения по резьбам
Выполнение сборочного чертежа
Сведения о материале деталей
Нанесение размеров на
сборочном чертеже
Плоская система сходящихся сил
Сопромат, термех
Пространственная система сил
Основные понятия и аксиомы статики
Основные понятия и аксиомы динамики
Элементы кинематики
Основные понятия сопративления материалов
Механические испытания материалов
Расчет бруса круглого поперечного
Плоскопаралельное движение твердого тела
Сопротивление усталости
Инженерная графика
Машиностроение
Графические обозначения материалов
в сечениях
Винтовые поверхности и изделия с резьбой
Винтовая линия
Винтовая лента
Построение проекции винтовой поверхности
Условные изобращения резьбы на чертежах
Многозаходные винты и резьбы
Виды резьб и их обозначения
Метрическая резьба
Трубная цилиндрическая резьба
Трубная коническая резьба
Упорная резьба
Сбег резьбы, фаски, проточки
Болты
Гайки
Винт
Шурупы
Шпилька
Пружинные шайбы
Соединения деталей болтом
Соединение деталей винтами
Упрощенные и условные изображения
резьбовых соединений
Резьбовые соединения труб
Соединения деталей - разъемные
и неразъемные
Резьбовые соединения
Соединение с применением штифтов
Чертежи деталей
Графическая часть чертежа
Нанесение размеров на чертежах деталей
Конструкторские и технологические базы
3 способа несения размеров элементов
деталей
Линейные и узловые размеры
При эскизировании и составлении рабочих
чертежей деталей
Основные сведения о допусках и посадках
Шероховатость поверхностей
и обозначение покрытий
Единая система допусков и посадок
Допуски формы и расположение поверхностей
Текстовые надписи на чертежах
Обозначение материалов на чертежах деталей
Выполнение эскизов деталей
Нанесение изображений элементов детали
Выполнение рабочих чертежей деталей
Выбор главного вида и числа изображений
Чертежи детали, изготовленной литьем
Чертеж детали, изготовленный из пластмассы
Чертежи пружин
Нутромер
Штангенциркуль
Математика
Функции
Вычисление пределов
Непрерывность функций
Производные
Дифференциалы
Математический анализ
Анализ функций
Корни уравнений
Алгебра
Линии и плоскости
Поверхности
Операции с матрицами
Комплексные числа
Матрицы
Дифференцироание функций
Линейные уравнения
Электротехника
Adobe Acrobat
Adobe FrameMaker
Adobe After Effects
Типы локальных сетей
Adobe Illustrator

Ядерные реакторы

Первый ядерный уран-графитовый реактор
Основные технические характеристики РБМК
Водо-водяной реатор, ВВЭР
Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500
Реакторы на быстрых нейтронах
Промышленные реакторы
Исследовательские ядерные реакторы
Реактор БОР-60
Многопетлевой кипящий энергетический
реактор МКЭР-800
Реактор БРЕСТ
Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
Тепловой реактор с внутренней
безопасностью
Энергетическая установка ГТ-МГР
Корпусной реактор ПРБЭР-600
ВВЭР-640 (В-407)
АРГУС

Физика

Электрическое поле
Решение задач по физике примеры
Строение и общие свойства атомных ядер
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Ядерная физика
Законы радиоактивного распада
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Деление и синтез ядер
Квантовая механика
Спин, момент импульса
Атом водорода Принцип Паули

Информатика

Принципы функционирования глобальных
и локальных сетей
Информационно-вычислительные сети
Электротехника
Расчёт электрического поля
Расчёт магнитной цепи
Законы Кирхгофа
Расчёт электрических цепей
Расчёт трёхфазных цепей
Промышленная электроника
Трехфазные электрические цепи
Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике
Методика расчёта линейных электрических цепей
Электротехника лекции
Элементы электрических цепей
Топология электрических цепей.
Переменный ток
Векторные диаграммы
Методы контурных токов и узловых потенциалов.
Основы матричных методов расчета электрических цепей
Мощность в электрических цепях
Резонансные явления
Векторные и топографические диаграммы
Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
Особенности составления матричных уравнений
Метод эквивалентного генератора

Определение первообразной и её свойства

Пример Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$

Пример

Замечания

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

Таблица интегралов

Поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , получаем $\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C.$

Табличная формула $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ означает, что $ F(x)=\arcsin x$ -- первообразная для $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ .

Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert+C,$

Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr\vert+C.$

Свойства неопределённого интеграла

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $\displaystyle \int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Формула замены переменного

Вычислим интеграл $ \int e^{x^2}x\,dx$ .

Линейная замена

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.

Найдём интеграл $ \int\ln x\,dx$ .

О "неберущихся" интегралах

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Ещё один неберущийся интеграл : $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

Пример Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

Приближённое нахождение первообразных

Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Расмотрим интеграл вида

Найдём интеграл

Вычислим интеграл

Рассмотрим случай вычисления интеграла

Пример Найдём интеграл $\dis

Пример Вычислим интеграл

Формула понижения степени

Вычислим интеграл

Рациональные функции и их интегрирование

Пример Разделим с остатком -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$ -- многочлен первой степени:

Разложим на множители многочлен третьей степени .

Разложим рациональную дробь

Замечание

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Определение

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Пример Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ \sin x$ и $ \cos x$ .

Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и

Пример Вычислим интеграл

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Примеры решения задач

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Приблеженное

Теорема

Определение

Теорема

Свойства определённого интеграла Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

Теорема

Линейность интеграла

Докажем теперь, что если $ f(x)$ и $ g(x)$ -- интегрируемые на $ [a;b]$ функции, то функция $ f(x)+g(x)$ тоже интегрируема и имеет место формула

Теорема Из интегрируемости функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$ .

Следствие

Теорема

Теорема Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ также интегрируема на $ [a;b]$ ,

Интеграл с переменным верхним пределом

Теорема Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

Пример Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Формула замены переменного в определённом интеграле

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

При $ x>0$ вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Несобственные интегралы первого рода

Вычислим значение интеграла

Пример Рассмотрим теперь несобственный интеграл

Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где > .

Определение

Свойства несобственных интегралов первого рода

Теоpема сpавнения Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство

Замечание

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона сходится.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Пример Исследуем сходимость несобственного интеграла

Теорема Если интеграл сходится, то сходится также интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл

Несобственные интегралы второго рода

Найдём площадь фигуры, расположенной под графиком функции --> над промежутком .

Пример Рассмотрим интеграл

Свойства несобственных интегралов второго рода

Несобственные интегралы с несколькими особенностями

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$

Приближённое вычисление определённых интегралов

Рассмотрим задачуо приближённом нахождении значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Квадратурная формула трапеций

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Теорема

Следствие

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

В главе об определённом интеграле мы уже видели, что для неотрицательной функции величина определённого интеграла задаёт площадь криволинейной трапеции , лежащей между отрезком оси и графиком . Рассмотрим другие геометрические приложения определённого интеграла.

Площадь области, лежащей между двумя графиками
Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками и .

Пример Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками и .

Площадь в полярных координатах
Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали ( ) при и отрезком оси $ Ox$
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью и лежащего выше горизонтальной плоскости

Пусть в плоскости рассматривается линия на отрезке .

Вычисление длины плоской линии

Найдём длину $ l$ отрезка параболы , лежащего между точками и .

Найдём длину дуги кривой ( циклоиды ), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

Площадь поверхности вращения

Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси .

Пример Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Пример Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Открытые и замкнутые области

Пример Следующие подмножества пространства $ \mathbb{R}^n$ являются открытыми областями:

Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ , очевидно, не имеет ни одной граничной точки, так что $ \partial\mathbb{R}^n=\varnothing $ .

Пример Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Связные множества

Пример Пусть $ {\Omega}$ -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

График функции нескольких переменных

Пределы функций нескольких переменных

Пример Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки $ x^0$ .

Пример

Непрерывность функции

Теорема

Ограничения функции на данное множество

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$

Свойства функций, непрерывных в области

Теорема (о промежуточном значении) Пусть функция $ f$ непрерывна в связной области $ {\Omega}$ .

Частные производные

Вычислим частные производные функции двух переменных

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$

Частные производные высших порядков

Найдём частные производные второго порядка

Дифференцируемость функции и дифференциал

Определение

Связь дифференциала с частными производными

Пример Найдём дифференциал функции трёх переменных

Теорема Пусть функция $ f(x)$ имеет в некоторой окрестности точки $ x^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$

Замечание

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Инвариантность дифференциала

Равенство смешанных частных производных

Следствие Пусть даны две частные производные

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Пример Равенство $\displaystyle g(x;y)=x^2-y^2=0$

Производные неявно заданной функции

Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Выпуклые множества и функции

Определение Функция $ g(t)$ , заданная на отрезке $ [a;b]$ , называется выпуклой (или выпуклой книзу ) на этом отрезке, если для всех $ t_0,t_1\in[a;b]$ и $ {\theta}\in[0;1]$ выполняется неравенство $\displaystyle g((1-{\theta})t_0+{\theta}t_1)\leqslant (1-{\theta})g(t_0)+{\theta}g(t_1),$

Определение Пусть дана квадратная матрица $ A$ размера $ n\times n$

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Теорема Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , то функция $ g(x)=f^2(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Теорема Любая точка локального минимума функции $ f(x)$ , выпуклой в области $ {\Omega}$ , даёт наименьшее значение функции $ f$ во всей области $ {\Omega}$ ;

Касательная плоскость к графику функции

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

Пример Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$ уравнением

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Пример Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

Найдём частные производные функции по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Градиент и производная по направлению

Формула Тейлора для функции нескольких переменных