Примеры вычисления интегралов

Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить . В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t. В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

Интегрирование функции Примеры решений

 

    Пример 2.7   Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

 

Здесь $ m=4$ . После однократного применения формулы понижения степени (2.2), дело сведётся к нахождению интеграла $ I_2=\int\frac{dx}{\cos^2x}=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C$ . Итак,

 

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=I_4=\frac{2}{3}I_2
+\frac{\sin x}{3\cos^3x}=
\frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}+C.$

    

        Замечание 2.2   Приведённый в этом примере способ вычисления интеграла $ I_4$ и подобных ему -- не единственно возможный. Если записать подынтегральное выражение в виде

 

$\displaystyle \frac{dx}{\cos^4x}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{dx}{\cos^2x}$

и заметить, что $ \frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x$ и $ \frac{dx}{\cos^2x}=d\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , то получим равенство

 

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=\int(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x)d\math...
...t^3}{3}+C=\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x+C,$

где $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Первообразные в этих двух ответах тождественно равны друг другу:

 

$\displaystyle \frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}=
\...
...mits ^2x)=
\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x.$

    

        Пример 2.8   Для вычисления интеграла

 

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

формулу (2.3) нужно будет применить два раза подряд:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}=J_5=
 \frac{3}{4}J_3-\frac{\cos x}{4\sin^4x}=$   
$\displaystyle =\frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{2}J_1-\frac{\cos x}{2\sin^2x}\Bigr)-
 ...
...its \frac{x}{2}\Bigr\vert-
 \frac{3\cos x}{8\sin^2x}-\frac{\cos x}{4\sin^4x}+C.$   

20.4. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

  Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

  Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

  Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

 Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

 Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

 Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

22.2. Свойства рядов.

 

 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

 2) Рассмотрим два ряда  и , где С – постоянное число.

 Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

 3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

 Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд  тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

 При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Типовой расчёт № 2

Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной

Образец выполнения типового расчёта № 2.

 Задание 1. Вычислить приращение функции  в точке , соответствующее приращению аргумента .

Решение:

Воспользуемся формулой: . Для данной функции получим: .

Ответ: .