Примеры вычисления интегралов

Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить . В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t. В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

Интегрирование функции Примеры решений

Функция $ R(x)$ называется рациональной функцией, или рациональной дробью, если она представляет собой отношение двух многочленов $ P(x)$ и $ Q(x)$ :

$\displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$

Пусть степень многочлена $ P(x)$ равна $ m$ , а степень $ Q(x)$ равна $ n$ , то есть

 

$\displaystyle P(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\ldots+a_{m-1}x+a_m;\ %
Q(x)=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\ldots+b_{n-1}x+b_n,$

где $ a_0\ne0$ и $ b_0\ne0$ . Разделив числитель и знаменатель на число $ b_0$ , мы получим, что коэффициент при старшей степени $ x^n$ в знаменателе равен 1. Для дальнейшего нам будет удобно предполагать, что эта операция уже произведена, то есть что $ b_0=1$ . Далее мы будем предполагать, что все коэффициенты $ a_j$ и $ b_j$  -- вещественные числа.

Если $ m<n$ , то дробь $ R(x)$ называется правильной, а если $ m\geqslant n$ , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель $ P(x)$ можно поделить на знаменатель $ Q(x)$ , получив при этом частное $ S(x)$ и остаток $ T(x)$ , степень которого $ m'$ меньше $ n$ . Это означает, что

 

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{T(x)}{Q(x)}$

или что

 

$\displaystyle P(x)=S(x)Q(x)+T(x),$

где $ S(x)$  -- некоторый многочлен, называемый целой частью рациональной дроби $ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ . Если остаток $ T(x)$ тождественно равен 0, то многочлен $ P(x)$ делится на $ Q(x)$ без остатка, и функция $ R(x)$ является многочленом, то есть совпадает со своей целой частью $ S(x)$ .

С интегрированием целой части дроби $ R(x)$ , то есть многочлена $ S(x)$ , не возникает никаких проблем, так что в дальнейшем мы можем заняться выяснением способов интегрирования лишь правильных рациональных дробей.

Для нахождения частного $ S(x)$ и остатка $ T(x)$ можно применять алгоритм деления многочленов "столбиком". Приведём пример.

    

Типовой расчёт № 2

Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной

Образец выполнения типового расчёта № 2.

 Задание 1. Вычислить приращение функции  в точке , соответствующее приращению аргумента .

Решение:

Воспользуемся формулой: . Для данной функции получим: .

Ответ: .