Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

Интегрирование функции Примеры решений

Пример 2.24   Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$

Подынтегральная функция является рациональной относительно $ x$ и $ \sqrt{x}$ , значит, для вычисления интеграла нужно сделать замену $ z=\sqrt{x}$ :

$\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 z=\sqr...
...rray}\right\vert=
 \int\frac{1+z^2}{1+z}\cdot2z\,dz=
 2\int\frac{z^3+z}{z+1}dz.$   

Разделим числитель на знаменатель столбиком:

 

\begin{displaymath}
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l}
z^3&...
...{2-3}
&&2z\\
&&2z&{}+2\\
\cline{3-4}
&&&-2
\end{array}
\end{displaymath}

Получили целую часть $ z^2-z+2$ и остаток $ -2$ . Значит,
$\displaystyle \frac{z^3+z}{z+1}=
z^2-z+2-\frac{2}{z+1}.$

Подставляя это выражение под знак интеграла, получаем:

 

$\displaystyle 2\int\frac{z^3+z}{z+1}dz=
2\int\bigl(z^2-z+2-\frac{2}{z+1}\bigr)dz=
\frac{2z^3}{3}-z^2+4z-4\ln\vert z+1\vert+C.$

Осталось вернуться к исходной переменной $ x$ : поскольку $ z=\sqrt{x}$ , получаем:

 

$\displaystyle \int\frac{\textstyle{1+x}}{\textstyle{1+\sqrt{x}}}dx=
\frac{2x\sqrt{x}}{3}-x+4\sqrt{x}-4\ln(\sqrt{x}+1)+C.$

14.4. Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

 Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где l - общий знаменатель m и n.

Если   - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если   - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

 Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

 На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида .

 Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

 Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

  Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1 способ. Тригонометрическая подстановка.

 Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или

  сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

2.4. .

Решение:

Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: .

 Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .

Решение:

Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной , учитывая при этом, что  является функцией аргумента. Получим:

. Из полученного равенства выразим производной: , откуда .

 Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

  Решение:

Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: . Получим: .