Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области $ \mathcal{D}$ , ограниченной на координатной плоскости $ xOy$ отрезком $ [a;b]$ оси $ Ox$ , графиком непрерывной функции $ y=f(x)>0$ , заданной на отрезке $ [a;b]$ , и двумя отрезками вертикальных прямых $ x=a$ и $ x=b$ , соединяющими точки оси $ Ox$ с точками графика (см. рис.).

Рис.3.1.


Заметим, что если графиком $ y=f(x)$ служит не прямая линия и не окружность, то в школьном курсе математики не было определено, что такое площадь $ S$ заданной области $ \mathcal{D}$ , так что для таких областей $ \mathcal{D}$ мы должны дать определение того, что такое площадь, и это определение должно быть согласовано с тем случаем, когда мы уже знаем, что такое площадь данной фигуры. Эту фигуру $ \mathcal{D}$ мы будем в общем случае называть криволинейной трапецией (считая параллельные вертикальные отрезки $ x=a$ и $ x=b$ её основаниями).

Сначала попробуем найти значение искомой площади приближённо. Для этого разделим область $ \mathcal{D}$ на узкие вертикальные полоски $ \mathcal{D}_1,\ \mathcal{D}_2,\dots,\mathcal{D}_n$ , проведя вертикальные линии $ x=x_1,\ x=x_2,\dots,\ x=x_{n-1}$ ; при этом мы будем считать, что $ {x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.}$ Тогда область $ \mathcal{D}_i$ лежит между прямыми $ x=x_{i-1}$ и $ x=x_i$ , где $ i=1,2,\dots,n$ . Обозначим длины отрезков между такими прямыми через $ h_i$ : $ h_i=x_i-x_{i-1}$ . Очевидно, что площадь $ S_i$ области $ \mathcal{D}_i$ лежит в пределах от $ \ul{S}_i=\ul{y}_ih_i$ до $ \ov{S}_i=\ov{y}_ih_i$ , где $ \ul{y}_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov{y}_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ (см. рис.), и примерно равна $ \wt S_i=f(\ov{x}_i)h_i$ , где $ \ov{x}_i$  -- произвольная точка отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ .

Рис.3.2.


 

2.4. .

Решение:

Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: .

 Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .

Решение:

Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной , учитывая при этом, что  является функцией аргумента. Получим:

. Из полученного равенства выразим производной: , откуда .

 Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

  Решение:

Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: . Получим: .