Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

Свойства определённого интеграла

 

Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

        Теорема 3.4   Пусть функция $ f(x)$ монотонна на отрезке $ [a;b]$ , то есть либо не убывает, либо не возрастает на нём. Тогда $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ .

        Доказательство.     Разберём случай, когда $ f(x)$ не убывает на отрезке, то есть когда из неравенства $ x_1<x_2$ ( $ x_1,x_2\in[a;b]$ ) следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$ . Если функция постоянна на отрезке $ [a;b]$ , то она непрерывна на нём и, следовательно, интегрируема9. Если же функция не постоянна, то $ f(b)>f(a)$ . Рассмотрим тогда произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и возьмём $ {\delta}=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}$ . Выберем любое разбиение $ X=(x_1;\dots;x_{n-1})$ с диаметром $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\leqslant {\delta}$ . Тогда нижняя интегральная сумма $ \ul S$ получится, если взять точки разметки $ \ov x_i=x_{i-1}$ , поскольку ввиду неубывания функции она принимает наименьшее значение в левом конце каждого из отрезков разбиения; аналогично, верхняя интегральная сумма $ \ov S$ получится при выборе $ \ov x_i=x_i$ (наибольшее значения принимается в правом конце отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ ). Получаем, что

$\displaystyle \ul S\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S,$

где $ \Xi$  -- размеченное разбиение, полученное из $ X$ любым выбором точек разметки $ \ov x_i$ . Интегрируемость функции $ f$ будет доказана, если мы покажем, что $ \ul S$ и $ \ov S$ имеют один и тот же предел $ I$ при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ . Заметим, что при любом разбиении $ X$ величины $ \ul S$ ограничены сверху числом $ f(b)(b-a)$ , а величины $ \ov S$ ограничены снизу числом $ {f(a)(b-a)}$ , причём эти границы не зависят от выбора разбиения. Значит, существует точная верхняя грань $ \ul I=\sup\ul S$ и точная нижняя грань $ \ov I=\inf\ov S$ , причём из неравенства $ \ul S\leqslant \ov S$ следует, что $ \ul I\leqslant \ov I$ и

$\displaystyle \ov S-\ul S\geqslant \ov I-\ul I.$

Покажем, что разность $ \ov S-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , если $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ . Действительно, поскольку длины отрезков разбиения $ h_i$ меньше $ {\delta}$ ,

$\displaystyle \ov S-\ul S=\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))h_i\leqslant 
 \sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1})){\delta}=
 {\delta}\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))=$   
$\displaystyle ={\delta}(f(b)-f(a))=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}(f(b)-f(a))={\varepsilon}.$   

Получили, тем самым, что $ \ov I-\ul I\leqslant {\varepsilon}$ . Так как в качестве $ {\varepsilon}$ мы можем выбрать как угодно малое число, а разность $ \ov I-\ul I$ от разбиения (и, следовательно, от выбора $ {\varepsilon}$ ) не зависит, то $ \ov I-\ul I=0$ , то есть $ \ov I=\ul I=I$ . Так как $ 0\leqslant \ov S-I\leqslant {\varepsilon}$ и $ 0\leqslant I-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , то при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ будет $ \ov S\to I$ и $ \ul S\to I$ . По теореме "о двух милиционерах" тогда и $ \lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt S(\Xi)=I$ , что означает интегрируемость функции $ f$ .     

Можно указать также класс функций, ни одна из которых не может быть интегрируемой на отрезке $ [a;b]$ . А именно, имеет место следующее утверждение:

2.4. .

Решение:

Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: .

 Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .

Решение:

Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной , учитывая при этом, что  является функцией аргумента. Получим:

. Из полученного равенства выразим производной: , откуда .

 Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

  Решение:

Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: . Получим: .