Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

 I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы. При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде: , где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

До сих пор мы ограничивались случаями, когда в интеграле $ \int_a^bf(x)\;dx$ либо $ a<b$ , либо $ a=b$ (в последнем случае считали, что интеграл равен 0). Распространим теперь определение на случай произвольных $ a$ и $ b$ , то есть рассмотрим и случай, когда $ b<a$ . При этом положим

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=-\int_b^af(x)\;dx.$

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, берётся по отрезку $ [b;a]$ , поскольку $ b<a$ , и поэтому имеет смысл предела интегральных сумм и, в случае непрерывной функции $ f(x)$ , может быть вычислен по формуле Ньютона - Лейбница:

 

$\displaystyle \int_b^af(x)\;dx=F(a)-F(b).$

Но тогда получаем, что

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=-\int_b^af(x)\;dx=-(F(a)-F(b))=F(b)-F(a),$

то есть формула Ньютона - Лейбница сохраняет силу и в случае, когда $ b<a$ . (Заметим, что при $ b=a$ она также верна, поскольку и тогда и $ \int_a^af(x)\;dx$ , и разность $ F(a)-F(a)$ равны 0.)

        Упражнение 3.1   Проверьте, что формулы, выражающие линейность интеграла:

 

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx$

и его аддитивность:

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx,$

сохраняются и в случае произвольного расположения точек $ a,b$ и $ c$ . При этом нужно, разумеется, предполагать интегрируемость функций $ f$ и $ g$ на отрезке, включающем в себя все используемые в формуле точки $ a,b$ и $ c$ .

Пусть, например, требуется проверить формулу аддитивности при $ c<a<b$ . Тогда, по теореме об аддитивности определённого интеграла, имеем:

 

$\displaystyle \int_c^af(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx=\int_c^bf(x)\;dx.$

Отсюда

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\int_c^bf(x)\;dx-\int_c^af(x)\;dx=
\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx,$

поскольку, по определению,

 

$\displaystyle \int_a^cf(x)\;dx=-\int_c^af(x)\;dx.$

Таким образом, формула аддитивности сохраняется при указанном расположении точек $ a,b,c$ .

Остальные случаи рассмотрите самоcтоятельно

26.2. Действия со степенными рядами.

1) Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

  2) Дифференцирование степенных рядов.

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

  3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

Коэффициенты сi находятся по формуле:

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке .

 Решение:

Запишем уравнение касательной: . В нашем случае , . Подставляем в уравнение: , откуда  - уравнение касательной.

Запишем уравнение нормали: . Подставив в это уравнение числовые данные: , откуда  - уравнение нормали.

 Задание 8. Найти производную функции  с помощью логарифмического дифференцирования.

  Решение:

Запишем общую формулу логарифмической производной: . В нашем случае:

  Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке  области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

 Так как в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то прямая  является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

  .

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).