Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

 I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы. При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде: , где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

Формула замены переменного в определённом интеграле

 

     Пример 3.4   Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

 

Выгодно взять $ u=x$ и $ dv=e^{2x}dx$ , так что получаем:

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{2...
...ht\vert=
 x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1
 -\int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx=$   
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1e^{2x}dx=
 \frac{e^2}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=$   
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(e^2+1).$   

При этом возникший по дороге внеинтегральный член $ x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1$ мы вычислили так:

 

$\displaystyle x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=
1\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot1}-0\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot0}=\frac{e^2}{2}.$

    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 3.5   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...rray}{l}
 u=x\\ 
 dv=\cos x\;dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=\sin x
 \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}...
...\sin x\;dx=
 \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$   

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$ и $ x\sin x$ , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$ , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.

Лекция 20. Производная и дифференциал функции нескольких переменных.

20.1. Частные производные.

  Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

 Можно записать

.

  Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

 Аналогично определяется частная производная функции по у.

 Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

21.3. Производная по направлению.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

 Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

 Расстояние между точками М и М1 на векторе  обозначим DS.

 

  Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

 

 Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .

  Из геометрических соображений очевидно:

  Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

  Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

 Из этого уравнения следует следующее определение:

  Определение: Предел  называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора  в точке с координатами ( x, y, z).

 Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

  Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

 Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке .

 Решение:

Запишем уравнение касательной: . В нашем случае , . Подставляем в уравнение: , откуда  - уравнение касательной.

Запишем уравнение нормали: . Подставив в это уравнение числовые данные: , откуда  - уравнение нормали.

 Задание 8. Найти производную функции  с помощью логарифмического дифференцирования.

  Решение:

Запишем общую формулу логарифмической производной: . В нашем случае:

  Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке  области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

 Так как в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то прямая  является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

  .

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).