Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

 I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы. При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде: , где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Напомним, что выше мы проверили, что формула $\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx$

 

действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия $ y=f(x)$  -- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия $ y=f(x)$  -- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна $ \pi R^2$ для круга радиуса $ R$ ). Не ограничивая общности, можно считать, что центр круга совпадает с началом координат координатной плоскости $ xOy$ , так что окружность радиуса $ R$ имеет уравнение

 

$\displaystyle x^2+y^2=R^2.$

Верхняя полуокружность задана тогда уравнением $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть представляет собой график функции $ f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ .

Рис.3.5.


Пусть теперь взят отрезок $ [a;b]$ , целиком умещаюшийся на диаметре $ [-R;R]$ , лежащем на оси $ Ox$ . Для определённости разберём случай, когда $ a>0$ (тогда $ 0<a<b\leqslant R$ ). Проведём вертикальные отрезки $ x=a$ и $ x=b$ через концы $ [a;b]$ до пересечения с полуокружностью и получим криволинейную трапецию. Для подсчёта её площади геометрическим способом проведём радиусы $ OM$ и $ ON$ в точки пересечения вертикальных отрезков $ x=a$ и $ x=b$ , соответственно, с полуокружностью. Длины этих вертикальных отрезков равны $ \sqrt{R^2-a^2}$ и $ \sqrt{R^2-b^2}$ . Площадь треугольника $ OMa$ равна, очевидно, $ S_1=\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}$ , а площадь треугольника $ ONb$ равна $ S_2=\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}$ . Радиус $ OM$ проведён под углом $ {\varphi}_1=\arccos\frac{a}{R}$ к оси $ Ox$ , а радиус $ ON$  -- под углом $ {\varphi}_2=\arccos\frac{b}{R}$ к оси $ Ox$ . Используя формулу площади сектора с центральным углом $ {\varphi}_1-{\varphi}_2$ , находим площадь сектора круга $ MON$ :

$\displaystyle S_{сект.}=\frac{1}{2}R^2({\varphi}_1-{\varphi}_2)=
\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

Поскольку, как видно из чертежа, площадь $ S$ криволинейной трапеции $ aMNb$ равна

 

$\displaystyle S=S_{сект.}+S_{\triangle ONb}-S_{\triangle OMa},$

то получаем формулу

 

$\displaystyle S=\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})
+\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}-\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}.$

Наша задача -- проверить, что к той же самой формуле приводят и правила интегрирования, если площадь криволинейной трапеции $ aMNb$ подсчитывать по общей фоpмуле площади области, лежащей под гpафиком функции $ y=f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть вычислять как $ S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx.$

Итак, приступаем к преобразованию этого интеграла. Первым делом проинтегрируем по частям:

$\displaystyle S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...ht\vert=
 x\sqrt{R^2-x^2}\Bigr\vert _a^b-\int_a^b\frac{-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\int_a^b\frac{(R^2-x^2)-R^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\underbrace{\int_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx}_{{}=S}+
 R^2\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(-\arccos\frac{x}{R})\Bigr\vert _a^b=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$   

После интегрирования по частям мы преобразовали интеграл в правой части, добавив и отняв $ R^2$ в числителе, после чего поделили скобку $ (R^2-x^2)$ на $ \sqrt{R^2-x^2}$ и получили тот же интеграл, с которого начинали, то есть $ S$ . Оставшийся интеграл
$\displaystyle \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}$ --

табличный, но вместо привычной табличной формулы
$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{R}+C$

мы воспользовались (тоже верной) формулой
$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{R}+C$

и применили формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определённого интеграла. Теперь в полученном равенстве
$\displaystyle S=
b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})$

перенесём $ S$ из правой части в левую и поделим обе части пополам. Получим:

 

$\displaystyle S=
\frac{1}{2}b\Bigl(
\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})\Bigr).$

Это та же самая формула для площади $ S$ , что была получена выше, исходя из формулы площади кругового сектора. Значит, способ подсчёта площади с помощью интеграла не противоречит и этой формуле площади, известной из элементарной геометрии.

Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке .

 Решение:

Запишем уравнение касательной: . В нашем случае , . Подставляем в уравнение: , откуда  - уравнение касательной.

Запишем уравнение нормали: . Подставив в это уравнение числовые данные: , откуда  - уравнение нормали.

 Задание 8. Найти производную функции  с помощью логарифмического дифференцирования.

  Решение:

Запишем общую формулу логарифмической производной: . В нашем случае:

  Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке  области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

 Так как в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то прямая  является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

  .

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).