Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция. Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

Несобственные интегралы Примеры решений задач

 

     Определение 4.1   Предположим, что функция $ f(x)$ задана на бесконечном промежутке вида $ [a;+\infty)$ и интегрируема на любом конечном отрезке $ [a;b]$ , где $ b\in[a;+\infty)$ . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

$\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Если эта функция имеет предел $ I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ то число $ I$ называется значением несобственного интеграла первого рода
$\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

а сам интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется сходящимся (иными словами, интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится).

Если же предела $ \lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ не существует (например, если $ \Phi(b)\to\infty$ при $ b\to+\infty$ ), то интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае $ {f(x)\geqslant 0}$ , величина несобственного интеграла $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ означает, по определению, площадь бесконечно длинной области $ \mathcal{D}$ , лежащей в координатной плоскости между лучом $ {[a;+\infty)}$ на оси $ Ox$ , графиком $ y=f(x)$ и вертикальным отрезком $ {x=a}$ (см. рис.).

Рис.4.1.


Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям $ \mathcal{D}$ , площадь которых конечна (хотя сама область $ \mathcal{D}$ неограничена), а расходящиеся (в случае $ f(x)\geqslant 0$ ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда $ \Phi(b)\to\infty$ при $b\to+\infty$ -->$ b\to+\infty$ , часто пишут формально:

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty,$

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади $ S=I$ путем учёта все большей её части $ S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ правый вертикальный отрезок, проведённый при $ x=b$ , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком $ y=f(x)$ (см. рис.).

Рис.4.2.

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

при .

 Определим знак второй производной в интервалах  и

 Решение:

Найдём область определения функции: . Далее, продифференцируем функцию: . Найдём критические точки: . Одна из них, , принадлежит рассматриваемому промежутку. Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:

 . Таким образом, .

Примеры решения задач по нахождению интеграла