Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция. Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

Несобственные интегралы Примеры решений задач


Пример   Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции $\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx,$

а потом вычислить предел
$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\Phi(b).$

Итак,

 

$\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx=
\mathop{\rm arctg}\nolimits x\Bigl\vert _0^b=\mathop{\rm arctg}\nolimits b$

(напомним, что $ \mathop{\rm arctg}\nolimits 0=0$ ) и
$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\mathop{\rm arctg}\nolimits b=\frac{\pi}{2}.$

Получили, что интеграл сходится и его значение таково:
$\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\frac{\pi}{2}.$

Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$ , лежащей над положительной полуосью (см. рис.).

Рис.4.3.



Поскольку рассматриваемая функция>$ f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$  -- чётная, то её график симметричен относительно оси $ Oy$ , так что площадь под графиком левее оси $ Oy$  -- точно такая же, как и площадь правее оси $ Oy$ , то есть тоже равна $ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}$ , а площадь под всем графиком (над всей осью $ Ox$ ) естественно считать равной >$ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}+\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}=\pi.$     

        Замечание 4.1   Для краткости записи, предел подстановки
$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Phi(x)\Bigr\vert _a^b=
\lim_{b\to+\infty}\Phi(b)-\Phi(a),$

возникающий при вычислении несобственного интеграла, часто обозначают как
$\displaystyle \Phi(x)\Bigr\vert _a^{+\infty},$

под подстановкой значения $ +\infty$ в функцию $ \Phi(x)$ понимая как раз вычисление предела
$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Phi(b).$

В этих обозначениях запись вычисления интеграла предыдущего примера будет выглядеть так:

 

$\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\mathop{\rm arctg}\nol...
... arctg}\nolimits x-\mathop{\rm arctg}\nolimits 0=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.$

Ниже мы часто будем прибегать к такой укороченной записи.     

23.4. Признак Коши. (радикальный признак)

            Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

            Следствие. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.

            Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

            Пример. Определить сходимость ряда .

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

при .

 Определим знак второй производной в интервалах  и

 Решение:

Найдём область определения функции: . Далее, продифференцируем функцию: . Найдём критические точки: . Одна из них, , принадлежит рассматриваемому промежутку. Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:

 . Таким образом, .

Примеры решения задач по нахождению интеграла