| ||
Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция. Выделяя из
рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен
и раскладывая дробь
в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование
функций
приводится к вычислению
интегралов следующих типов:
а) , Р(х) – многочлен;
б) , А – константа;
в) ,
M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.
Напомним, что мы выяснили выше,
что достаточно рассматривать только свойства интегралов вида
, а свойства интегралов вида
их будут повторять с очевидными исправлениями.
Доказательство.
Докажем, что из сходимости
следует сходимость
при
. Из аддитивности интеграла следует, что при любом
имеет место равенство
Доказано на самом деле даже больше: кроме самомго факта сходимости интеграла
, мы доказали формулу (4.3).
Из той же формулы (4.2) следует и второе утверждение
теоремы. Действительно, по условию теоремы интеграл по конечному отрезку
существует, поскольку функция интегрируема, так что при любом
из формулы (4.2) получаем:
![]() |
![]() |
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
,
при
.
Определим знак второй производной в интервалах
и
Решение:
Найдём область определения функции:
. Далее, продифференцируем функцию:
. Найдём критические точки:
.
Одна из них,
, принадлежит рассматриваемому промежутку.
Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:
.
Таким образом,
.