Приёмы нахождения определённых интегралов

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция. Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

Несобственные интегралы Примеры решений задач

Напомним, что мы выяснили выше, что достаточно рассматривать только свойства интегралов вида $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , а свойства интегралов вида $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ их будут повторять с очевидными исправлениями.

        Теорема 4.1   Пусть фиксировано число $ a\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b]$ , где $ b\geqslant a$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , то сходится и интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ .

        Доказательство.     Докажем, что из сходимости $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ следует сходимость $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ при $ a_1\geqslant a$ . Из аддитивности интеграла следует, что при любом $ b\geqslant a$ имеет место равенство

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx=
 \int\limits_a^bf(x)\;dx-
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx.$(4.2)

Переходя в этом равенстве к пределу при $ b\to+\infty$ , получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx-
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx,$(4.3)

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл $ \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ вовсе не зависит от $ b$ , то есть при вычислении предела при $ b\to+\infty$ служит постоянным слагаемым. Значит, предел, задающий интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , существует (и равен $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx-
\int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ ), что доказывает сходимость интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ .

Доказано на самом деле даже больше: кроме самомго факта сходимости интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , мы доказали формулу (4.3).

Из той же формулы (4.2) следует и второе утверждение теоремы. Действительно, по условию теоремы интеграл по конечному отрезку $ [a;a_1]$ существует, поскольку функция интегрируема, так что при любом $ b\geqslant a_1$ из формулы (4.2) получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^{b}f(x)\;dx.$   

Отсюда переходом к пределу при $ b\to+\infty$ получаем, что

$\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx,$

причём существование предела, задающего интеграл в левой части, следует из предположенной сходимости несобственного интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ в правой части.     

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

при .

 Определим знак второй производной в интервалах  и

 Решение:

Найдём область определения функции: . Далее, продифференцируем функцию: . Найдём критические точки: . Одна из них, , принадлежит рассматриваемому промежутку. Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:

 . Таким образом, .

Примеры решения задач по нахождению интеграла