Геометрический смысл интеграла

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

Несобственные интегралы Примеры решений задач

    Пример 4.5   Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Наводящие соображения насчёт того, с какой функцией сравнивать подынтегральную функцию
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}},$

таковы: при больших значениях $ x$ ведущую роль в знаменателе играет $ x^3$ , поскольку $ 1\ll x$ при больших $ x$ ; значит, если откинуть 1, получим функцию
$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}.$

Поскольку её показатель $ p=\frac{3}{2}$ больше 1, то интеграл
$\displaystyle Z(\frac{3}{2})=
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}=
\int_1^{+\infty}g(x)\;dx$

сходится. В то же время имеет место неравенство
$\displaystyle 0<f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}<\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=g(x),$

поскольку, очевидно,
$\displaystyle \sqrt{x^3+1}>\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}.$

Итак, интеграл от большей функции $ g(x)$ сходится, откуда следует сходимость исходного интеграла $ \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

11.3. Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

 Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

 Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.

 Доказательство.

 Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f¢(x1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x1 и f¢(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Типовой расчёт № 3

Ряды.

Образец выполнения типового расчёта № 3.

Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Решение. Во-первых, данный ряд является знакочередующимся, причём первый множитель является отрицательным. Поэтому формула общего члена ряда должна содержать множитель . Во-вторых, все члены ряда представляют собой дроби со знаменателем, равным единице. В-третьих, знаменатели каждой дроби являются квадратами последовательных натуральных чётных чисел:  и так далее. Таким образом, получим формулу: .

Задание 2. Найти 8-й член числового ряда .

Решение. .

Примеры решения задач по нахождению интеграла