Геометрический смысл интеграла

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

Несобственные интегралы Примеры решений задач

Пусть на полуинтервале $ [a;b)$ задана функция $ f(x)$ , интегрируемая на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$ , однако не интегрируемая на отрезке $ [a;b]$ . В точке $ b$ эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к $ \infty$ при $ x\to b-$ , любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_a^{b_1}f(x)\;dx,$

она определена при $ x\in[a;b)$ . Эта функция $ \Phi(b_1)$ может иметь предел при $ b_1\to b-$ (левосторонний предел). Этот предел мы будем называть значением интеграла от $ f(x)$ по всему полуинтервалу $ [a;b)$ и обозначать в точности как обычный интеграл:

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx.$

Итак, дадим такое определение:

        Определение 4.6   Пусть функция $ f(x)$ удовлетворяет указанным выше условиям на $ [a;b)$ . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx,$

значение $ I$ которого равняется левостороннему пределу

$\displaystyle I=\lim_{b_1\to b-}\int_a^{b_1}f(x)\;dx.$

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\infty.$

    

Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при -->$ f(x)\geqslant 0$ ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции $ y=f(x)$ над $ [a;b)$ с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком $ [a;b_1]$ , а затем приближением правого конца $ b_1$ к точке $ b$ (см. рис.).

Рис.4.7.



Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла -->$ \int_a^bf(x)\;dx$ .

Лекция 26. Степенные ряды.

26.1. Понятие степенного ряда.

            На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

            Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

            Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).

При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд).

Типовой расчёт № 3

Ряды.

Образец выполнения типового расчёта № 3.

Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Решение. Во-первых, данный ряд является знакочередующимся, причём первый множитель является отрицательным. Поэтому формула общего члена ряда должна содержать множитель . Во-вторых, все члены ряда представляют собой дроби со знаменателем, равным единице. В-третьих, знаменатели каждой дроби являются квадратами последовательных натуральных чётных чисел:  и так далее. Таким образом, получим формулу: .

Задание 2. Найти 8-й член числового ряда .

Решение. .

Примеры решения задач по нахождению интеграла