Геометрический смысл интеграла

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

Несобственные интегралы Примеры решений задач

  Пример 4.8  Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

(Заметим, что функция $ f(x)$ не определена при $ \vert x\vert\geqslant 1$ и стремится к $ +\infty$ при $ x\to1-$ , так что указанная фигура -- неограниченная и площадь задаётся несобственным интегралом второго рода (см. рис.):

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Рис.4.8.



Возьмём -->$ b_1\in[0;1)$ и вычислим обычный (собственный) определённый интеграл

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Имеем по теореме Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\arcsin x\Bigr\vert _0^{b_1}=\arcsin b_1-\arcsin 0=\arcsin b_1.$

Далее вычисляем предел:

$\displaystyle \lim_{b_1\to1-}\Phi(b_1)=
\lim_{b_1\to1-}\arcsin b_1=\frac{\pi}{2}.$

Поскольку оказалось, что предел существует, то несобственный интеграл сходится, а искомая площадь равна его значению:

$\displaystyle S=\frac{\pi}{2}.$

        Замечание 4.4   Как и в случае несобственных интегралов первого рода, часто понимают вычисление предела подстановки $ \Phi(x)\Bigl\vert _a^{b_1}$ как подстановку с верхним предельным значением $ b$ :

$\displaystyle \lim_{b_1\to b-}\Phi(x)\Bigl\vert _a^{b_1}=\Phi(x)\Bigl\vert _a^b,$

имея в виду, что подстановка верхнего предела интегрирования означает переход к левостороннему пределу при $ b_1\to b-$ .

При таком обозначении запись вычисления в предыдущем при=мере выглядит так:

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x\Bigr\vert _0^1=\arcsin1-\arcsin0=
\arcsin1=\frac{\pi}{2}.$

Заметим, что здесь мы, глядя на эти вычисления, могли и не заметить, что вычисляемый интеграл -- несобственный. Это произошло потому, что первообразная $ \arcsin x$ , которую мы использовали для вычисления подстановки, непрерывна слева в точке $ b=1$ .     

        Определение 4.7   Аналогично интегралу по полуинтервалу $ [a;b)$ от функции $ f(x)$ с особенностью в точке $ b$ , определяется несобственный интеграл второго рода от функции $ f$ , имеющей особенность в точке $ a$ полуинтервала $ (a;b]$ :

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=I,$

если существует предел

$\displaystyle I=\lim_{a_1\to a+}\int_{a_1}^bf(x)\;dx.$

В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует, -- расходящимся.     

        Замечание 4.5   Если сделать замену $ t=-x$ , то несобственный интеграл от функции, имеющей особенность в правом конце промежутка интегрирования, переходит в несобственный интеграл от функции с особенностью в левом конце промежутка, и наоборот (проверьте это утверждение, сделав замену $ t=-x$ в интеграле $ \int_a^bf(x)\;dx$ , где $ f(x)\to\infty$ при $ x\to b-$ ). Поэтому свойства несобственных интегралов второго рода достаточно устанавливать лишь в каком-нибудь одном случае, например, в случае особенности в правом конце промежутка, а свойства интегралов с особенностью функции в левом конце будут получаться очевидными переформулировками.     

Типовой расчёт № 3

Ряды.

Образец выполнения типового расчёта № 3.

Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Решение. Во-первых, данный ряд является знакочередующимся, причём первый множитель является отрицательным. Поэтому формула общего члена ряда должна содержать множитель . Во-вторых, все члены ряда представляют собой дроби со знаменателем, равным единице. В-третьих, знаменатели каждой дроби являются квадратами последовательных натуральных чётных чисел:  и так далее. Таким образом, получим формулу: .

Задание 2. Найти 8-й член числового ряда .

Решение. .

Примеры решения задач по нахождению интеграла