Геометрический смысл интеграла

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

Несобственные интегралы Примеры решений задач

 

Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с $ b_1\to+\infty$ для интеграла

 

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{b_1\to+\infty}\int_a^{b_1}f(x)\;dx$

на $ b_1\to b$ для интеграла от функции с особенностью в точке $ b$ :

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\lim_{b_1\to b}\int_a^{b_1}f(x)\;dx.$

Поэтому, пояснив происходящее доказательством одного из свойств, мы оставляем прочие свойства несобственных интегралов второго рода читателю в качестве упражнения и приводим одни лишь формулировки этих свойств.

Итак, приводим одно из свойств с доказательством.

        Теорема 4.5   Пусть фиксированы числа $ a,b\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$, и имеет особенность в точке $ b$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^bf(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\in[a;b)$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором

Лекция 8. Дифференциал функции.

8.1. Понятие о дифференциале функции.

            Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:   , где a®0, при Dх®0.

Следовательно:     .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

            Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

            Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что  dy = f¢(x)Dx  или

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Типовой расчёт № 3

Ряды.

Образец выполнения типового расчёта № 3.

Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Решение. Во-первых, данный ряд является знакочередующимся, причём первый множитель является отрицательным. Поэтому формула общего члена ряда должна содержать множитель . Во-вторых, все члены ряда представляют собой дроби со знаменателем, равным единице. В-третьих, знаменатели каждой дроби являются квадратами последовательных натуральных чётных чисел:  и так далее. Таким образом, получим формулу: .

Задание 2. Найти 8-й член числового ряда .

Решение. .

Примеры решения задач по нахождению интеграла