Примеры вычисления интегралов

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

Первообразная и неопределённый интеграл

 

Пусть функция $ f(x)$ задана на некотором интервале $ (a;b)\sbs\mathbb{R}$ . Если найдётся такая функция $ F(x)$ , что при всех $ {x\in(a;b)}$ имеет место равенство

 

$\displaystyle F'(x)=f(x),$

то функция $ F(x)$ называется первообразной для функции $ f(x)$ .

        Пример 1.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

Для доказательства найдём производную от $ F(x)$

 

$\displaystyle F'(x)=\Bigl(\frac{x^3}{3}\Bigr)'=\frac{1}{3}(x^3)'=\frac{1}{3}\cdot3x^2=
x^2=f(x).$

Поскольку равенство верно при всех $ x\in\mathbb{R}$ , то $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .     

Аналогичное определение дадим и для случая, когда функция $ f(x)$ задана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:

 

$\displaystyle \mathcal{D}=\bigcup_{k}(a_k;b_k),\ k\in\mathbb{Z}.$

Назовём функцию $ F(x)$ первообразной для $ f(x)$ , если при всех $ x\in\mathcal{D}$ выполнено равенство $ F'(x)=f(x)$ .

21.2. Условный экстремум.

            Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

            Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

            Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

                                                             =0                                                    (1)

Кроме того:

                                                                                                                        (2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

            Для выполнения этого условия во всех точках  найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

            Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

 Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

            Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

            Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Пределы числовых последовательностей и функций.

Образец выполнения типового расчёта № 1.

 Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

Решение:

Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности , предел которой не определён, и сходящейся последовательности , предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней.

Тогда: .