Геометрический смысл интеграла

Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.

Интегралы Квадратурная формула центральных прямоугольников

 

Снова рассмотрим отрезки разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ , где $ i=1,\dots,n$ и $ x_0=a$ , $ x_n=b$ , и выберем в качестве точек разметки середины каждого из этих отрезков, то есть точки

 

$\displaystyle \ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i).$

(Мы будем эти середины обозначать $ x_{i-\frac{1}{2}}$ .) Возьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму, построенную по такому размеченному разбиению. Каждое слагаемое в этой сумме, равное

 

$\displaystyle S_i=f(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1}),$

выражает площадь прямоугольника с основанием $ [x_{i-1};x_i]$ и высотой, равной значению функции в середине этого отрезка (см. рис.):

Рис.5.3.



Получим тогда квадратурную формулу:

 

$\displaystyle I\approx I_R=\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1}),$

называемую формулой центральных прямоугольников.

Если взять все отрезки разбиения равной длины $ h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то эта квадратурная формула принимает вид

 

$\displaystyle I\approx I_R=h\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}}).$

Заметим, что в этом случае $ x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-\frac{h}{2}=a+ih-\frac{h}{2}.$

Для выяснения характера ошибки $ {\varepsilon}_R=I-I_R$ , возникающей при замене $ I$ на $ I_R$ , заметим, что если функция $ f(x)$ дифференцируема, то прямоугольник площади $ S_i$ равновелик трапеции, верхней стороной которой служит касательная к графику $ y=f(x)$ , проведённая при $ x=x_{i-\frac{1}{2}}$ (см. рис.):

Рис.5.4.



Действительно, заштрихованные на рисунке треугольники равны, отчего равны площади прямоугольника $ x_{i-1}ABx_i$ и трапеции $ x_{i-1}CDx_i$ .

Отсюда следует, что если функция $ f(x)$ имеет вторую производную, то при $ f''(x)<0$ график является выпуклым кверху и $ I_R>I$ (так как из чертежа видно, что площадь трепеции, равная $ S_i$ , больше площади под графиком функции, а при $ f''(x)>0$ график является выпуклым книзу и $ I_R<I$ . Значит, при $ f''(x)<0$ на $ [a;b]$ получаем $ {\varepsilon}_R<0$ , а при $ f''(x)>0$  -- $ {\varepsilon}_R>0$ .

Задание 3. Найти частичную сумму  числового ряда .

Решение: .

Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:

4.1. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, данный ряд является расходящимся.

4.2. .

Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов , причём , значит, ряд расходится.

Примеры решения задач по нахождению интеграла