| ||
Пусть снова взято разбиение отрезка
на части
,
. Приближённо заменим площадь под графиком
, лежащую над промежутком разбиения
, на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие
значения функции в концах промежутка, то есть
и
(см. рис.).
Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции
достаточно вычислить значение функции
лишь в одной новой точке -- в правом конце
очередного промежутка
, поскольку точка
была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено
при нахождении площади предыдущей трапеции.
Если все отрезки разбиения выбираются
одинаковой длины
, то формула трапеций приобретает вид
Пусть функция
имеет вторую производную
, сохраняющую знак на интервале
. Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки
этой квадратурной формулы таков: если
, то есть если график
является выпуклым кверху, то
и, значит,
; если же
и график имеет выпуклость книзу, то
и
.
Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки
формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная
которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок
и
противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных
прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того,
чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую
величину имеют эти ошибки
и
в зависимости от выбора шага
. Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать
точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого
значения интеграла.
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда
.
Решение: .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. .
Решение.
Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости:
. Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно,
данный ряд является расходящимся.
4.2. .
Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов ,
причём
, значит, ряд расходится.