Геометрический смысл интеграла

Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.

Интегралы Квадратурная формула трапеций

 

Пусть снова взято разбиение отрезка $ [a;b]$ на части $ [x_{i-1};x_i]$ , $ i=1,\dots,n$ . Приближённо заменим площадь под графиком $ y=f(x)$ , лежащую над промежутком разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть $ f(x_{i-1})$ и $ f(x_i)$ (см. рис.).

Рис.5.5.



Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,

 

$\displaystyle S_i=\frac{1}{2}(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1}).$

Суммируя все площади $ S_i$ , получаем квадратурную формулу трапеций:

 

$\displaystyle I\approx I_T= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1}).$

Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через $ I_{rl}$ .

Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции $ S_i$ достаточно вычислить значение функции $ f$ лишь в одной новой точке -- в правом конце $ x_i$ очередного промежутка $ [x_{i-1};x_i]$ , поскольку точка $ x_{i-1}$ была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.

Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины $ h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то формула трапеций приобретает вид

 

$\displaystyle I\approx I_T= \frac{h}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i)).$

Все значения функции $ f(x_i)$ , кроме $ f(x_0)=f(a)$ и $ f(x_n)=f(b)$ , встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде

 

$\displaystyle I\approx I_T= \frac{h}{2}\Bigl(f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\Bigr)= \frac{h}{2}(f(a)+f(b))+h\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i),$

где $ x_i=a+ih$ , $ i=1,\dots,n-1$ .

Пусть функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x)$ , сохраняющую знак на интервале $ (a;b)$ . Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки $ {\varepsilon}_T=I-I_T$ этой квадратурной формулы таков: если $ f''(x)<0$ , то есть если график $ y=f(x)$ является выпуклым кверху, то $ I>I_T$ и, значит, $ {\varepsilon}_T>0$ ; если же $ f''(x)>0$ и график имеет выпуклость книзу, то $ I<I_T$ и $ {\varepsilon}_T<0$ .

Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки $ {\varepsilon}_R$ формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок $ {\varepsilon}_T$ и $ {\varepsilon}_R$ противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки $ {\varepsilon}_T$ и $ {\varepsilon}_R$ в зависимости от выбора шага $ h$ . Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.


Задание 3. Найти частичную сумму  числового ряда .

Решение: .

Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:

4.1. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, данный ряд является расходящимся.

4.2. .

Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов , причём , значит, ряд расходится.

Примеры решения задач по нахождению интеграла