Геометрический смысл интеграла

Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

 

Будем предполагать, что функция $ f(x)$ имеет на отрезке интегрирования $ [a;b]$ вторую производную $ f''(x)$ , и $ f''(x)$ непрерывна на $ [a;b]$ , причём

 

$\displaystyle \vert f''(x)\vert\leqslant M_2$ при всех $\displaystyle x\in[a;b].$

Для метода центральных прямоугольников представим ошибку $ {\varepsilon}_R$ в виде суммы ошибок на каждом отрезке разбиения:

$\displaystyle {\varepsilon}_R=I-I_R=
 \int_a^bf(x)\;dx-\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1})=$   
$\displaystyle \sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\;dx
 -\sum_{i=1}^nf(x_{i-\fr...
...(x_i-x_{i-1})
 =\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}})\;dx.$   

По формуле Тейлора, применённой к функции $ f(x)$ в точке $ x_{i-\frac{1}{2}}$ , получаем для $ {x\in[x_{i-1};x_i]}$ :

 

$\displaystyle f(x)=f(x_{i-\frac{1}{2}})+f'(x_{i-\frac{1}{2}})(x-x_{i-\frac{1}{2}})+
\frac{1}{2}f''(\wt x)(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2,$

где $ \wt x\in[x_{i-1};x_i]$  -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x_{i-\frac{1}{2}}$ .

Заметим, что

 

$\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i}
f'(x_{i-\frac{1}{2}})(x-x_{i-\frac{1}{2}})dx=
f'(x_{i-\frac{1}{2}})
\int_{x_{i-1}}^{x_i}
(x-x_{i-\frac{1}{2}})dx=0,$

поскольку $ x_{i-\frac{1}{2}}$  -- середина отрезка интегрирования в этом интеграле. Получаем тогда, что

$\displaystyle \Bigl\vert\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}}))\;dx\Big...
...{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}f''(\wt x)(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2\;dx\Bigr\vert\leqslant$   
$\displaystyle \leqslant 
 \frac{M_2}{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}(x-x_{i-\frac{1}{2}}...
...{M_2}{6}(x-x_{i-\frac{1}{2}})^3\Bigl\vert _{x_{i-1}}^{x_i}=\frac{M_2}{24}h_i^3,$   

где $ h_i=x_i-x_{i-1}$ . Таким образом, суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем оценку ошибки:

 

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant \frac{M_2}{24}\sum_{i=1}^nh_i^3.$

Если все отрезки разбиения имеют одинаковую длину $ h_i=h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то получаем

 

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant
\frac{M_2}{24}nh^3=
\frac{M_2}{24}(nh)\cdot h^2=
\frac{M_2(b-a)}{24}\cdot h^2,
$

или

 

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant
\frac{M_2}{24}nh^3=
\frac{M_2}{24}\cdot\frac{n^3h^3}{n^2}=
\frac{M_2(b-a)^3}{24}\cdot\frac{1}{n^2}.
$

Следовательно, при уменьшении вдвое шага разбиения $ h$ , то есть при удвоении числа шагов $ n$ , оценка возможной ошибки уменьшается вчетверо, а при уменьшении шага в 10 раз оценка ошибки уменьшается в $ 10^2=100$ раз. Квадратурную формулу, обладающую таким свойством ошибки, называют формулой второго порядка точности. Итак, формула центральных прямоугольников -- формула второго порядка точности.

Покажем, что формула трапеций также имеет второй порядок точности.

Рассмотрим снова рис. 5.5.. Прямая, соединяющая концы хорды графика, то есть точки $ (x_{i-1};f(x_{i-1}))$ и $ (x_i;f(x_i))$ , имеет уравнение

 

$\displaystyle y=l_i(x)=f(x_{i-1})\frac{x_i-x}{x_i-x_{i-1}}+f(x_i)\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.$

Действительно, это равенство задаёт линейную функцию, и легко проверить, что $ l_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})$ и $ l_i(x_i)=f(x_i)$ . Разность между площадью под графиком функции на отрезке $ [x_{i-1};x_i]$ и площадью трапеции $ S_i$ равняется тогда

 

$\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\;dx-\frac{1}{2}(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1})=
\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-l_i(x))\;dx.$

Докажем, что стоящая под знаком последнего интграла разность удовлетворяет оценке

 

$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x)$

при всех $ x\in[x_{i-1};x_i]$ . Эта оценка получается как следствие такой теоремы.

    

Задание 3. Найти частичную сумму  числового ряда .

Решение: .

Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:

4.1. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, данный ряд является расходящимся.

4.2. .

Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов , причём , значит, ряд расходится.

Примеры решения задач по нахождению интеграла