Геометрический смысл интеграла

Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график подынтегральной функции $ f(x)$ на каждом из отрезков разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ прямой линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения графика функции $ f(x)$ в виде параболы -- графика некоторого квадратного трёхчлена $ P_i(x)$ . Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ , на котором мы выбираем приближение.

Выберем, например, такой квадратный трёхчлен $ P_i$ , чтобы его значения в точках $ x_{i-1},\ x_{i-\frac{1}{2}}$ и $ x_i$ совпадали со значениями функции $ f(x)$ в этих же точках:

$\displaystyle P_i(x_{i-1})=f(x_{i-1});\ <tex2html_comment_mark>87 P_i(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-\frac{1}{2}});\ <tex2html_comment_mark>88 P_i(x_i)=f(x_i).$(5.3)

Напомним, что через $ x_{i-\frac{1}{2}}$ мы обозначали середину отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ , то есть $ x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i).$ Функцию можно записать в виде

 

$\displaystyle P_i(x)=a+b(x-x_{i-1})+c(x-x_{i-1})(x-x_{i-\frac{1}{2}});$

действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа $ a,b,c$ так, чтобы выполнялись равенства (5.3). Положим $ h_i=x_i-x_{i-1}$ , тогда $ x_i-x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{h_i}{2}$ и $ x_{i-\frac{1}{2}}-x_{i-1}=\frac{h_i}{2}$ . Подставим $ x=x_{i-1}$ в выражение для $ P_i(x)$ и получим:

 

$\displaystyle P_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})=a,$

то есть

 

$\displaystyle a=f(x_{i-1}).$

Подстановка $ x=x_{i-\frac{1}{2}}$ даёт

 

$\displaystyle P_i(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-1})+b\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

 

$\displaystyle b=\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1})).$

Наконец, подставим $ x=x_i$ и получим

 

$\displaystyle P_i(x_i)=f(x_i)=f(x_{i-1})+\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1}))\cdot h_i+
c\cdot h_i\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

 

$\displaystyle c=\frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-f(x_{i-1})-2(f(x_{i-\frac{1}{2}})-f(x_{i-1})))=
\frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-2f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})).$

Задание 3. Найти частичную сумму  числового ряда .

Решение: .

Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:

4.1. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, данный ряд является расходящимся.

4.2. .

Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов , причём , значит, ряд расходится.

Примеры решения задач по нахождению интеграла