| ||
Несобственный интеграл от разрывной функции ,
называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.
А именно, если используемая квадратурная формула имеет порядок точности
(
-- порядок формул центральных прямоугольников и трапеций,
-- формулы Симпсона,
-- формулы Уэддля), то соответствующая шагу
погрешность
имеет оценку
, где
-- некоторая постоянная, не зависящая от
. Таким образом, при малых
, то есть при достаточно большом числе отрезков разбиения
, будет
На такой оценке текущей погрешности, как правило, основаны компьютерные программы, вычисляющие значение определённого интеграла с заданной точностью.
4.3. .
Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь
. Получим:
. Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.
4.4.
.
Решение. Применим радикальный
признак Коши. Найдём . Получим:
.
Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.
4.5. .
Решение.
Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости:
. Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а
знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от
значения различных знаков. Предел
общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю),
следовательно, данный ряд является расходящимся.