Примеры вычисления интегралов

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

Первообразная и неопределённый интеграл

Дадим теперь такое название множеству всех первообразных данной функции:

        Определение 1.1   Пусть $ f(x)$  -- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для $ f(x)$ называется неопределённым интегралом от $ f(x)$ и обозначается $ \int f(x)\,dx$ . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции $ f(x)$ называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция $ f(x)$ , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.     

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции $ f(x)$ состоит из функций вида $ F(x)+C$ , где $ F(x)$  -- какая-либо фиксированная первообразная для $ f(x)$ , а $ C$  -- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция $ f(x)$ . Поэтому можно написать такую формулу:

 

$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C.$

(Точнее было бы $ \int f(x)\,dx=\{F(x)+C\}$ , но фигурные скобки, обозначающие множество всех функций вида $ F(x)+C$ , писать в данной ситуации не принято.)

Итак, для того чтобы доказать равенство $ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ , достаточно проверить, что $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ , то есть что $ F'(x)=f(x)$ . Поэтому таблица неопределённых интегралов для многих часто встречающихся функций сразу следует из таблицы производных, которую мы получили в первом семестре.

1) Поскольку $ (x^m)'=mx^{m-1}$ , то при $ m\ne0$ $ (\frac{1}{m}x^m)'=x^{m-1}$ и $ (\frac{1}{n+1}x^{n+1})'=x^n$ , если взять $ m=n+1$ . Поэтому при $ n\ne-1$

 

$\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C.$

В частности, получаем при $ n=0$ (заметим, что $ x^0=1$ ):

 

$\displaystyle \int\,dx=x+C,$

при $ n=1$ (тогда $ x^1=x$ ):

$\displaystyle \int x\,dx=\frac{1}{2}x^2+C,$

при $ n=2$ :

$\displaystyle \int x^2\,dx=\frac{1}{3}x^3+C,$

при $ n=-2$ (тогда $ x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C$

(заметим, что здесь $ C$  -- кусочно постоянная величина, принимающая постоянные значения $ C_1$ при $ x<0$ и $ C_2$ при $ x>0$ ), при $ n=\frac{1}{2}$ (тогда $ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ ):

$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3/2}x^{3/2}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C,$

при $ n=-\frac{1}{2}$ (тогда $ x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{1}{1/2}x^{1/2}+C=2\sqrt{x}+C,$

при $ n=-\frac{1}{3}$ (тогда $ x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx=\frac{1}{2/3}x^{2/3}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+C$

(здесь $ C$  -- кусочно постоянная, поскольку подынтегральная функция задана на объединении двух интервалов $ (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ ), и т. п.

 

Пределы числовых последовательностей и функций.

Образец выполнения типового расчёта № 1.

 Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

Решение:

Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности , предел которой не определён, и сходящейся последовательности , предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней.

Тогда: .