Геометрический смысл интеграла

Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

Площадь области, лежащей между двумя графиками

   Пример 6.1   Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$ . Эти графики имеют две общих точки $ (0;0)$ и $ (1;1)$ (см. рис.), причём на отрезке $ [0;1]$ график $ y=\sqrt{x}$ идёт выше, чем график $ y=x^2$ .

Рис.6.2.



Значит, площадь области $ \mathcal{D}$ между графиками равна

 

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\;dx=
\frac{2}{3}x\sqrt{x}...
...\vert _0^1-\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _0^1=
\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

    

Лекция 5. Комплексные числа.

5.1.Понятие о комплексных числах.

            Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

            При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

            Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

            Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

            Определение. Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

            Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

            Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

            Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 


 

            Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

            С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

4.3. .

Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь . Получим: . Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.

4.4. .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём . Получим:

. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

4.5. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от  значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.

Примеры решения задач по нахождению интеграла