Геометрический смысл интеграла

Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

Площадь в полярных координатах

Напомним, что определением интеграла служит предел интегральных сумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезка интегрирования. Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади в следующем случае.

Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат: полярными координатами точки $ M$ служат два числа $ (r;{\varphi})$ ($ r=\vert OM\vert$  -- полярный радиус, $ {\varphi}=\angle MOx$  -- полярный угол).

Рис.6.4.



Уравнение, задающее зависимость величины $ r$ от полярного угла $ {\varphi}$ ,

 

$\displaystyle r=f({\varphi}),$

задаёт некоторую линию на плоскости. Будем предполагать, что функция $ f({\varphi})$ непрерывна при $ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ . Рассмотрим область $ \mathcal{D}$ на плоскости, расположенную между выходящими из начала координат лучами $ {\varphi}={\alpha}$ и $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f({\varphi}),\ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (эта область заштрихована на следующем чертеже).

Рис.6.5.



Найдём площадь области $ \mathcal{D}$ , вначале приблизив область ступенчатой фигурой следующего устройства. Область изменения угла $ {\varphi}$ , то есть отрезок $ [{\alpha};{\beta}]$ , разобьём на части точками деления

 

$\displaystyle {\alpha}={\varphi}_0<{\varphi}_1<\ldots<{\varphi}_{n-1}<{\varphi}_n={\beta}$

и выберем на каждом участке $ [{\varphi}_{i-1};{\varphi}_i]$ некоторую отмеченную точку $ \ov{\varphi}_i$ . Получаем размеченное разбиение $ \Xi$ отрезка $ [{\alpha};{\beta}]$ . Приближённо будем считать площадь $ \wt S_i$ сектора области $ \mathcal{D}$ , лежащего между лучами $ {\varphi}={\varphi}_{i-1}$ и $ {\varphi}={\varphi}_i$ , равной площади $ S_i$ кругового сектора с тем же центральным углом $ {\Delta}{\varphi}_i={\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}$ и радиусом, равным $ r_i=f(\ov{\varphi}_i)$ (см. рис.):

Рис.6.6.



Площадь кругового сектора подсчитывается по формуле

 

$\displaystyle S_i=\frac{1}{2}r_i^2{\Delta}{\varphi}_i=\frac{1}{2}(f(\ov{\varphi}_i))^2({\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}).$

Значит, площадь всей области приближённо равна интегральной сумме

 

$\displaystyle \sum_{i=1}^nS_i=
\frac{1}{2}
\sum_{i=1}^n
(f(\ov{\varphi}_i))^2({\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}),$

построенной по выбранному размеченному разбиению отрезка $ [{\alpha};{\beta}]$ для функции

 

$\displaystyle g({\varphi})=\frac{1}{2}(f({\varphi}))^2.$

При неограниченном измельчении разбиения $ \Xi$ , то есть при условии $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , эта интегральная сумма будет стремиться к площади области $ \mathcal{D}$ . С другой стороны, предел интегральных сумм для функции $ g({\varphi})$ даст определённый интеграл от этой функции. Таким образом, получаем формулу площади:

 

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\frac{1}{2}\int_{{\alpha}}^{{\beta}}(f({\varphi}))^2\;d{\varphi}.$

Более кратко эту формулу можно записать так:

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\frac{1}{2}\int_{{\alpha}}^{{\beta}}r^2\;d{\varphi},$(6.3)

где имеется в виду, что вместо полярного радиуса $ r$ нужно подставить его выражение через полярный угол $ {\varphi}$ для зависимости, график которой ограничивает область снаружи.

   

4.3. .

Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь . Получим: . Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.

4.4. .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём . Получим:

. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

4.5. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от  значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.

Примеры решения задач по нахождению интеграла