moscow escort for life Геометрический смысл интеграла

Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

Площадь в полярных координатах

     Пример 6.3   Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$ (см. рис.).

Рис.6.7.



Применяя формулу (6.3), получаем:

 

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(a{\varphi}^2)^2\;d{\varphi}=
\frac{a^...
...arphi}^5}{5}\Bigl\vert _0^{2\pi}=\frac{a^2}{10}(2\pi)^5=
\frac{16a^2\pi^5}{5}.$

    

Если область $ \mathcal{D}$ имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей $ {\varphi}={\alpha}$ и $ {\varphi}={\beta}$ (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: $ r=f_1({\varphi})$ и $ r=f_2({\varphi})$ , причём $ f_1({\varphi})\leqslant f_2({\varphi})$ при всех $ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (см. рис.), то площадь $ S$ области $ \mathcal{D}$ можно представить как разность двух площадей: $ S_2$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_2({\varphi})$ , -- и $ S_1$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_1({\varphi})$ .

Рис.6.8.



Каждую из площадей $ S_1$ и $ S_2$ можно подсчитать по формуле (6.3), так что получаем в итоге

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\Bigl(\int_{{\alpha}}^{{\beta}}(f_2({\varphi}))^2\;d...
...alpha}}^{{\beta}}\bigl((f_2({\varphi}))^2-(f_1({\varphi}))^2\bigr)\;d{\varphi}.$(6.4)

 

26.3. Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора).

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию .

            Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов.

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

                       

                       

                        ……………………………….

                       

Итого, получаем:

            Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

            Находим дифференциал функции  и интегрируем его в пределах от 0 до х.

4.3. .

Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь . Получим: . Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.

4.4. .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём . Получим:

. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

4.5. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от  значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.

Примеры решения задач по нахождению интеграла