Геометрический смысл интеграла

Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве $ \mathbb{R}^3$ с декартовой системой координат $ Oxyz$ лежит область $ {\Omega}$ , проектирующаяся на ось $ Ox$ в отрезок $ [a;b]$ . Предположим, что для каждого $ x\in[a;b]$ нам известна площадь $ S(x)$ сечения тела $ {\Omega}$ плоскостью, проходящей через точку $ x$ оси абсцисс перпендикулярно этой оси. Площадь $ S(x)$ будем называть площадью поперечного сечения тела $ {\Omega}$ .

Для нахождения объёма тела $ {\Omega}$ возьмём размеченное разбиение $ \Xi$ отрезка $ [a;b]$ , которое образуют точки деления $ x_0=a<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ и отмеченные точки $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ , $ i=1,\dots,n$ . Плоскости $ x=x_i$ разбивают тело $ {\Omega}$ на слои $ {\Omega}_i$ , объёмы которых мы вычислим приближённо, в соответствии с этим разбиением заменив объём слоя $ {\Omega}_i$ на объём цилиндра, высота которого $ h_i=x_i-x_{i-1}$ та же, что у слоя $ {\Omega}$ , а основание совпадает с сечением тела плоскостью $ x=\ov x_i$ , проведённой где-то посередине между основаниями слоя $ {\Omega}_i$ (см. рис.). Образующие этого цилиндра -- отрезки прямых, проходящих параллельно оси $ Ox$ через точки границы сечения.

Рис.6.9.



Объём цилиндра равен, очевидно, $ \wt V_i=S(\ov x_i)h_i$ , а подсчитанный приближённо с помощью данного разбиения объём всего тела $ {\Omega}$  --

 

$\displaystyle V_{{\Omega}}\approx\wt V_{\Xi}=
\sum_{i=1}^n\wt V_i=
\sum_{i=1}^nS(\ov x_i)h_i.$

Последняя сумма -- это интегральная сумма, построенная для функции $ S(x)$ по размеченному разбиению $ \Xi$ . При неограниченном измельчении разбиения (то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ ) эта сумма стремится к значению определённого интеграла от $ S(x)$ по $ [a;b]$ . С другой стороны, задаваемый этой суммой объём будет стремиться к объёму тела $ V_{{\Omega}}$ (этот предельный объём мы можем по определению считать равным объёму тела $ {\Omega}$ ). Итак, получаем формулу

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_a^bS(x)\;dx.$(6.5)

    

4.3. .

Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь . Получим: . Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.

4.4. .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём . Получим:

. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

4.5. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от  значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.

Примеры решения задач по нахождению интеграла