Геометрический смысл интеграла

Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

    Пример 6.4   Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$ (см. рис.).

Рис.6.10.



Очевидно, что рассматриваемое тело $ {\Omega}$ проектируется на ось $ Ox$ в отрезок $ [-R;R]$ , а при $ x\in(-R;R)$ поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами $ y$ и $ z=2y$ , где $ y$ можно выразить через $ x$ из уравнения цилиндра:

 

$\displaystyle y=\sqrt{R^2-x^2}.$

Поэтому площадь $ S(x)$ поперечного сечения такова:

 

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}y\cdot2y=y^2=R^2-x^2.$

Применяя формулу (6.5), находим объём тела $ {\Omega}$ :

 

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_{-R}^R(R^2-x^2)\;dx=\bigl(R^2x-\frac{x^3}{3}\bi...
...
\bigl(R^3-\frac{R^3}{3}\bigr)-
\bigl(-R^3+\frac{R^3}{3}\bigr)=\frac{4R^3}{3}.$

    

Пусть тело $ {\Omega}$ ограничено поверхностью, полученной вращением в пространстве $ Oxyz$ линии $ y=f(x)$ , лежащей в плоскости $ xOy$ и рассматриваемой при $ x\in[a;b]$ , вокруг оси $ Ox$ , а также (с боков) плоскостями $ x=a$ и $ x=b$ (см. рис.).

Рис.6.11.



Поскольку поперечными сечениями такого тела вращения служат круги радиуса $ {\vert y\vert=\vert f(x)\vert}$ , площадь поперечного сечения будет в этом случае выражаться формулой

 

$\displaystyle S(x)=\pi y^2=\pi(f(x))^2,$

а объём тела вращения, как следствие формулы (6.5), равен

 

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^b(f(x))^2\;dx,$

или, более кратко,

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^by^2\;dx.$(6.6)

4.3. .

Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь . Получим: . Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.

4.4. .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём . Получим:

. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

4.5. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от  значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.

Примеры решения задач по нахождению интеграла